Mistake museum

错误博物馆

这里收藏的不是笨错，而是聪明人也会犯的错。每件展品先让你自己找毛病，再打开看诊断。目前共 224 件展品。

卷一《因式分解技巧》展厅

展品

分到一半就停

x^{4} - 16 = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4)

，分解完毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　确实写成了积，但 $x^{2} - 4$ 还是一个平方差，还能再分。这就像把 $60$ 写成 $6 \times 10$ 就交卷。

x^{4} - 16 = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)

。每写出一个因式，都再问一次“还能再分吗”。

「分解要分到每个因式都不能再分为止」

出处：什么是因式分解

展品

结果不是积

x^{2} + 3 x + 2 = x (x + 3) + 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　最后一步运算是加法，整个式子仍然是“和”。因式分解的结果必须整体是一个积。

x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)

。检查方法：看最外层的运算是不是乘法。

「看最后一步运算——必须是乘」

出处：什么是因式分解

展品

漏掉 1

3 x^{2} + 3 x = 3 x (x)

　或　

3 x^{2} + 3 x = 3 x \cdot x

错在哪里？先想一想，再打开

病因　第二项 $3 x$ 被整个提走，剩下的不是“没有”，而是 $3 x \div 3 x = 1$ 。漏掉它，乘回去只有 $3 x^{2}$ ，少了一项。

3 x^{2} + 3 x = 3 x (x + 1)

。原来有几项，括号里就有几项。

「整项被提走，原地留下 1」

出处：提公因式

展品

没提干净

12 x^{3} + 18 x^{2} = 6 x (2 x^{2} + 3 x)

错在哪里？先想一想，再打开

病因　括号里的 $2 x^{2}$ 和 $3 x$ 还有公因式 $x$ 。公因式要取最大的：系数取最大公因数，字母取最低次幂。

12 x^{3} + 18 x^{2} = 6 x^{2} (2 x + 3)

。写完再看一眼括号里：还有公因式吗？

「提完再看一眼括号里」

出处：提公因式

展品

提负号忘了变号

- 2 x^{2} + 4 x = - 2 x (x + 2)

错在哪里？先想一想，再打开

病因　提出 $- 2 x$ 相当于每一项都除以 $- 2 x$ ： $4 x \div (- 2 x) = - 2$ ，不是 $+ 2$ 。乘回去 $- 2 x \cdot 2 = - 4 x$ ，符号反了。

- 2 x^{2} + 4 x = - 2 x (x - 2)

。提出负号时，括号里每一项都要变号。

「提出负号，括号里各项全变号」

出处：提公因式

展品

和的平方 = 平方的和？

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}

，所以

x^{2} + 9 = (x + 3)^{2}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　边长 $a + b$ 的正方形里，除了 $a^{2}$ 和 $b^{2}$ ，还有两块 $ab$ 。漏掉它们，面积就少了 $2 ab$ 。

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

。

x^{2} + 9

没有中间项

6 x

，它不是完全平方；

x^{2} + 6 x + 9

才是

(x + 3)^{2}

。

「完全平方有三项，中间那项是 2ab」

出处：应用公式

展品

套一次公式就停

x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1)

，分解完毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x^{2} - 1$ 还是平方差，可以再套一次公式。

x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x - 1) (x + 1)

。每次套完公式，都检查每个因式还能不能再分。

「套完公式，再查一遍每个因式」

出处：应用公式

展品

立方差公式的符号

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)

错在哪里？先想一想，再打开

病因　乘回去： $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 4) = x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - 8$ ，多出了中间两项。立方差的第二个括号里是加 $ab$ ，这样中间项才能互相抵消。

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

。记法：第一个括号的符号跟原式相同，第二个括号中间项的符号相反。

「立方公式：前同号，后异号」

出处：应用公式

展品

负号后面添括号不变号

a x - a y - b x + b y = a (x - y) - b (x + y)

错在哪里？先想一想，再打开

病因　第二组是 $- b x + b y$ 。提出 $- b$ 时， $+ b y \div (- b) = - y$ ，括号里应该是 $x - y$ ，不是 $x + y$ 。

a x - a y - b x + b y = a (x - y) - b (x - y) = (a - b) (x - y)

。添完括号马上乘回去看一眼。

「括号前是负号，括号里各项都变号」

出处：分组分解

展品

提到一半当成答案

a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y)

，分解完毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　右边最后一步运算还是加法，它还是两项的和，不是积。

再提一次公因式

(x + y)

：

a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)

。

「分组只是手段，最后必须是积」

出处：分组分解

展品

只添不减

x^{4} + 4 = x^{4} + 4 x^{2} + 4 = (x^{2} + 2)^{2}

错在哪里？先想一想，再打开

病因　凭空多了 $4 x^{2}$ ，式子的值变了。第一个等号就不成立：取 $x = 1$ ，左边是 $5$ ，右边是 $9$ 。

添上

4 x^{2}

的同时必须减去

4 x^{2}

：

x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - 4 x^{2} = (x^{2} + 2 x + 2) (x^{2} - 2 x + 2)

。

「添多少，就要减多少」

出处：拆项与添项

展品

看到“平方和”就放弃

x^{4} + 4 = (x^{2})^{2} + 2^{2}

是平方和，所以不能分解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“ $a^{2} + b^{2}$ 不能分解”说的是 $a$ 、 $b$ 本身当字母看。这里 $2 ab = 4 x^{2}$ 恰好是一个完全平方，添上它再减去它，就出现了平方差。

先问：

2 ab

是不是某个式子的平方？是的话，添项。

x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2}

。

「平方和也可能藏着平方差」

出处：拆项与添项

展品

只凑和，忘了看积的符号

x^{2} - 5 x - 6 = (x - 2) (x - 3)

，因为

- 2 - 3 = - 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　和确实是 $- 5$ ，但 $(- 2) \times (- 3) = + 6$ ，常数项的符号反了。常数项是负的，两个数必须一正一负。

先看常数项

- 6

：异号。再找差为

5

的一对：

- 6

和

+ 1

。所以

x^{2} - 5 x - 6 = (x - 6) (x + 1)

。

「先看积的符号，再去凑和」

出处：十字相乘

展品

首项系数不是 1 时，横着加

2 x^{2} + 5 x + 3

：拆成

2 \cdot 1

和

1 \cdot 3

，写成

(2 x + 1) (x + 3)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　乘回去中间项是 $2 x \cdot 3 + 1 \cdot x = 7 x$ ，不是 $5 x$ 。首项系数不是 $1$ 时，同一组数摆放的位置不同，交叉相加的结果就不同。

把

1

和

3

上下对调：

(2 x + 3) (x + 1)

，交叉相加

2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5

。写完务必乘回去验一次。

「十字是"交叉"相乘，位置也是答案的一部分」

出处：十字相乘

展品

只验了一个交叉

x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 2 x + 5 y - 3 = (x + 2 y + 1) (x + y - 3)

，因为

1 \times (- 3) = - 3

，而且

2 \times (- 3) + 1 \times 1 = - 5

……差不多。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　常数项对了，但 $y$ 的系数算出来是 $- 5$ 不是 $5$ ， $x$ 的系数是 $- 3 + 1 = - 2$ 也不是 $2$ 。三个交叉里错了两个。

把两个常数的符号对调：

(x + 2 y - 1) (x + y + 3)

。

y

项：

2 \times 3 + 1 \times (- 1) = 5

✓；

x

项：

3 + (- 1) = 2

✓。

「双十字有三个交叉，一个都不能少验」

出处：二元二次式的分解

展品

只分解了二次部分

x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 2 x + 5 y - 3 = (x + y) (x + 2 y) + 2 x + 5 y - 3

，分解完毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　右边还是和的形式。二次部分的分解只是第一个十字，一次项和常数项还没进到括号里。

设成

(x + y + r_{2}) (x + 2 y + r_{1})

，再用另外两个交叉定出

r_{1} = - 1

、

r_{2} = 3

。

「前两列只是起点，第三列才收尾」

出处：二元二次式的分解

展品

没提公因式就套公式

4 x^{2} - 36 = (2 x - 6) (2 x + 6)

，分解完毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　等式成立，但两个括号里各自还有公因数 $2$ ，没有分解到底。

先提公因式：

4 x^{2} - 36 = 4 (x^{2} - 9) = 4 (x - 3) (x + 3)

。第一步永远先问“有公因式吗”。

「一提二套——顺序不能反」

出处：综合运用

展品

换元之后没换回来，或者没分到底

设

t = x^{2} + x

，

t^{2} - 8 t + 12 = (t - 2) (t - 6)

，所以答案是

(t - 2) (t - 6)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目里没有 $t$ ，它只是临时的记号。换回 $x$ 之后，两个因式还是二次三项式，还得继续查。

(x^{2} + x - 2) (x^{2} + x - 6) = (x + 2) (x - 1) (x + 3) (x - 2)

。

「换元要换回来，换回来还要再查」

出处：综合运用

展品

余数定理代错了符号

求

f (x)

除以

x + 2

的余数，算

f (2)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　除式 $x + 2$ 等于 $0$ 的地方是 $x = - 2$ 。余数定理说的是：除以 $x - c$ ，余数是 $f (c)$ ； $x + 2 = x - (- 2)$ ，所以 $c = - 2$ 。

算

f (- 2)

。口诀：让除式等于零的那个数。

「除以 x + 2，代的是 −2」

出处：多项式的一次因式

展品

首项系数不是 1，却只试整数

2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2

：试了

\pm 1

、

\pm 2

，只有

- 1

和

2

是根，所以它只有两个一次因式。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　首项系数是 $2$ ，候选里还有分母为 $2$ 的 $\pm \frac{1}{2}$ 。 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ，漏掉了因式 $2 x - 1$ 。

候选是

\pm \frac{p}{q}

：

p

取常数项的因数，

q

取首项系数的因数。这里是

\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}

。

「分子看常数项，分母看首项系数」

出处：多项式的一次因式

展品

方程没用完

设

x^{4} + 2 x^{2} + x + 2 = (x^{2} + a x - 1) (x^{2} + c x - 2)

。由

a + c = 0

、

- 2 a - c = 1

解得

a = - 1

、

c = 1

，所以分解成

(x^{2} - x - 1) (x^{2} + x - 2)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　还有一个方程没有检查： $x^{2}$ 的系数 $a c - 3$ 应该等于 $2$ ，可是 $(- 1) (1) - 3 = - 4$ 。方程的个数比未知数多，每一个都得成立。

这组常数项（

- 1

和

- 2

）行不通，换成

1

和

2

：

a = 1

、

c = - 1

，三个方程全部成立，得

(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 2)

。

「解出来以后，把没用过的方程也代一遍」

出处：待定系数法

展品

常数项只想到正因数

x^{4} - 3 x^{2} + 1

的常数项是

1

，只能设成

(x^{2} + a x + 1) (x^{2} + c x + 1)

；解不出整数，所以不能分解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $1 = (- 1) \times (- 1)$ 也是一种拆法。设成 $(x^{2} + a x - 1) (x^{2} + c x - 1)$ ： $a + c = 0$ ， $a c - 2 = - 3$ ，得 $a = 1$ 、 $c = - 1$ 。

x^{4} - 3 x^{2} + 1 = (x^{2} + x - 1) (x^{2} - x - 1)

。列形状时，正负两种拆法都要考虑。

「拆常数项，别忘了负负得正」

出处：待定系数法

展品

把轮换式当成对称式

a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a

里三个字母地位一样，所以它是对称式，对换

a

、

b

不变。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　对换 $a$ 、 $b$ 后得到 $b^{2} a + a^{2} c + c^{2} b$ ，和原式不是同一个式子（取 $a = 1, b = 2, c = 0$ ：原式是 $2$ ，对换后是 $4$ ）。它只在轮换 $a \to b \to c \to a$ 下不变。

对称式要求任意两个字母对换都不变；轮换式只要求三个字母依次轮换不变。对称式一定是轮换式，反过来不一定。

「对称 ⇒ 轮换，轮换 ⇏ 对称」

出处：轮换式与对称式

展品

次数没对齐就收工

a^{3} (b - c) + b^{3} (c - a) + c^{3} (a - b)

：令

a = b

得

0

，所以它等于

k (a - b) (b - c) (c - a)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　原式是 $4$ 次， $(a - b) (b - c) (c - a)$ 只有 $3$ 次，还差一个一次因式，不可能只差一个常数。

差的那个一次因式也得“轮换不变”，只能是

k (a + b + c)

。代一组数定出

k = - 1

：原式

= - (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c)

。

「先数次数，再定剩下的因式」

出处：轮换式与对称式

展品

没看清题目说的范围

在实数范围内分解

x^{4} - 4

：

x^{4} - 4 = (x^{2} - 2) (x^{2} + 2)

，分解完毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　在有理数范围内这确实到底了。但题目说的是实数范围， $2$ 可以用了： $x^{2} - 2$ 还能再分。

x^{4} - 4 = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 2)

。

x^{2} + 2

没有实数根，在实数范围内到此为止。

「先读清“在什么范围内”，再判断分没分完」

出处：实数集与复数集内的分解

展品

判别式小于零 = 永远不能分？

x^{2} + x + 1

的判别式是

- 3 < 0

，所以它无论如何都不能分解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $Δ < 0$ 只说明它没有实数根，在实数范围内不能分。到了复数范围，任何二次式都有两个根，都能分成两个一次因式。

说完整：

x^{2} + x + 1

在实数范围内既约；在复数范围内等于

(x - ω) (x - \overset{ω}{ˉ})

，其中

ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}

。

「“不能分解”后面一定跟着“在某某范围内”」

出处：实数集与复数集内的分解

展品

判别法用不上 = 可约？

x^{2} + 1

找不到满足条件的素数

p

，所以它可以分解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　艾森斯坦判别法是充分条件：条件满足，一定既约；条件不满足，什么也说明不了。 $x^{2} + 1$ 在有理数范围内当然是既约的。

换个办法证：把

x

换成

x + 1

得

x^{2} + 2 x + 2

，取

p = 2

判别法就成立了。或者直接说：二次式没有有理根，所以既约。

「充分条件不满足，结论悬而未决」

出处：既约多项式

展品

没有有理根 = 既约？

x^{4} + x^{2} + 1

的候选有理根

\pm 1

都不是根，所以它在有理数范围内既约。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　没有有理根只说明没有一次因式。四次式还可能是两个二次式的积： $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 。

“没有有理根 ⇒ 既约”只对二次和三次式成立。四次以上，还要排除“二次 × 二次”等情况（待定系数法），或者用判别法。

「没有根 ≠ 没有因式（次数 ≥ 4 时）」

出处：既约多项式

卷二《方程与方程组》展厅

展品

看到负号就说是负数

- a

前面有负号，所以

- a

是负数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $a$ 是一个空位，里面可以放负数。放进 $- 2$ ， $- a$ 就成了 $- (- 2) = 2$ ，是正数；放进 $0$ ， $- a$ 是 $0$ 。负号只表示“取相反数”。

先问

a

是什么数：

a > 0

时

- a

是负数，

a = 0

时

- a = 0

，

a < 0

时

- a

是正数。

「字母自己带着符号，负号只是“取相反数”」

出处：看 a 与 1

展品

忘了 x 前面藏着一个 1

3 x - x = 3

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x$ 就是 $1 x$ 。 $3$ 个 $x$ 拿走 $1$ 个 $x$ ，剩下的是 $2$ 个 $x$ ，不是数 $3$ 。

把藏起来的

1

写出来：

3 x - 1 x = (3 - 1) x = 2 x

。

「没写系数，系数就是 1，不是 0」

出处：看 a 与 1

展品

不看条件就约分

\frac{a}{a} = 1

，对任何数

a

都成立。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　空位里放 $0$ 时，式子成了 $\frac{0}{0}$ ，分母是 $0$ ，没有意义。

加上条件再说：当

a \neq = 0

时，

\frac{a}{a} = 1

。

「做除法之前，先问一句“它会不会是 0”」

出处：看 a 与 1

展品

移项不变号

3 x + 5 = x - 7

，移项得

3 x + x = - 7 + 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“把 $x$ 从右边移到左边”其实是两边同时减去 $x$ ，所以左边多出来的是 $- x$ ，不是 $+ x$ 。 $5$ 移到右边也一样，是两边同时减 $5$ 。

3 x - x = - 7 - 5

，即

2 x = - 12

，

x = - 6

。代回检验：左边

3 \times (- 6) + 5 = - 13

，右边

- 6 - 7 = - 13

。

「移项就是两边同加同减，过了等号要变号」

出处：一元一次方程

展品

去分母时漏乘不带分母的项

\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3} + 2

，两边乘

6

，得

3 x + 1 = 2 x + 2

，所以

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　两边乘 $6$ ，是每一项都乘 $6$ 。 $1$ 和 $2$ 没有分母，可它们也在天平上，也要变成 $6$ 和 $12$ 。代回去一看就露馅：左边 $\frac{3}{2}$ ，右边 $\frac{7}{3}$ 。

3 x + 6 = 2 x + 12

，所以

x = 6

。检验：左边

3 + 1 = 4

，右边

2 + 2 = 4

。

「乘一个数，天平上每一样东西都要乘」

出处：一元一次方程

展品

两边除以一个可能是 0 的字母

解关于

x

的方程

a x = a

：两边除以

a

，得

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　除以 $a$ 之前没有问 $a$ 会不会是 $0$ 。 $a = 0$ 时方程是 $0 \cdot x = 0$ ，任何数都是解，不只是 $1$ 。

分两种情况写：当

a \neq = 0

时，

x = 1

；当

a = 0

时，

x

可以是任何数。

「除以字母之前，先分“是 0”和“不是 0”」

出处：含字母系数的一次方程

展品

系数为 0 就说无解

方程

(a + 2) x = 3 a + 6

中，

a = - 2

时

x

的系数是

0

，所以方程无解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　系数是 $0$ 只说明“不能除”。有没有解还要看右边： $a = - 2$ 时右边 $3 a + 6$ 也是 $0$ ，方程成了 $0 \cdot x = 0$ ，解有无穷多个。

系数为

0

时，再把这个字母的值代进右边算一次：右边不是

0

才无解，右边也是

0

就是无穷多解。

「0·x = b：b 不是 0 无解，b 是 0 全是解」

出处：含字母系数的一次方程

展品

去绝对值只写一种情况

∣ x - 2∣ = 5

，所以

x - 2 = 5

，

x = 7

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　绝对值等于 $5$ 的数有两个： $5$ 和 $- 5$ 。数轴上离 $2$ 有 $5$ 个单位的点，左右各有一个。

x - 2 = 5

或

x - 2 = - 5

，所以

x = 7

或

x = - 3

。

「绝对值是距离，左右两边都要找」

出处：一次方程的应用与变形

展品

分段解出来就当成解

∣2 x - 1∣ = x - 2

。当

2 x - 1 \geq 0

时

2 x - 1 = x - 2

，

x = - 1

；当

2 x - 1 < 0

时

1 - 2 x = x - 2

，

x = 1

。所以

x = - 1

或

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　每个结果只在它自己那一段里才算数。 $x = - 1$ 不满足 $2 x - 1 \geq 0$ ； $x = 1$ 不满足 $2 x - 1 < 0$ 。代回原方程也看得出来： $x = 1$ 时左边是 $1$ ，右边是 $- 1$ 。

两个结果都不在各自的段里，全部舍去：原方程无解。（也可以一开始就发现：左边不小于

0

，所以要

x \geq 2

，这时

2 x - 1 = x - 2

给出

x = - 1

，矛盾。）

「分段求出的数，要回到那一段去检查」

出处：一次方程的应用与变形

展品

相减时只变了一半的符号

3 x + 2 y = 11

减去

3 x - y = 2

：

2 y - y = 9

，所以

y = 9

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　减去 $3 x - y$ 是减去整个式子： $- (3 x - y) = - 3 x + y$ 。 $- y$ 被减，变成了 $+ y$ 。

(3 x + 2 y) - (3 x - y) = 3 y

，所以

3 y = 9

，

y = 3

，再代回得

x = \frac{5}{3}

。拿不准时，把第二个方程两边乘

- 1

，改成相加。

「减一个方程，等于加上它的相反数——每一项都要变号」

出处：二元一次方程组

展品

乘倍数时漏了右边

把

x + 2 y = 5

两边乘

3

：

3 x + 6 y = 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“两边”包括等号右边的常数。只乘左边，得到的是另一条直线，它不再经过原来的交点。

3 x + 6 y = 15

。每一项都乘，一项不漏。

「等式两边同乘，右边也是“边”」

出处：二元一次方程组

展品

两次消去的不是同一个未知数

由 ①② 消去

x

，得到一个含

y

、

z

的方程；由 ②③ 消去

y

，得到一个含

x

、

z

的方程。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　两个新方程合起来仍然有 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三个未知数，问题一点没变小。

认准同一个未知数消两次：比如 ①② 消

x

、①③ 也消

x

，得到的两个方程都只含

y

、

z

，这才是一个二元方程组。

「消元要“认准一个，消干净”」

出处：多元一次方程组

展品

同一对方程用了两次

由 ①② 消去

x

得到 ④；再由 ①② 消去

y

得到 ⑤。然后解 ④⑤。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　④ 和 ⑤ 都只是 ①② 的结果，方程 ③ 从头到尾没有出场。三个条件只用了两个，解不出唯一的答案。

三个方程每一个都要用到。常见搭配：①② 一组，①③（或 ②③）一组。

「有几个方程，就要让几个方程都出力」

出处：多元一次方程组

展品

只加不减

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} + 5

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(x + 3)^{2}$ 展开是 $x^{2} + 6 x + 9$ ，比原来多出了一个 $9$ 。凭空补上的角，必须原样还回去，式子才没有变。

x^{2} + 6 x + 5 = (x^{2} + 6 x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4

。写完把右边展开验一次。

「补多少，就减多少」

出处：学会配方

展品

括号外面还有个 2

2 x^{2} + 8 x = 2 (x^{2} + 4 x) = 2 (x + 2)^{2} - 4

错在哪里？先想一想，再打开

病因　括号里补的是 $4$ ，但括号外面乘着 $2$ ，实际上一共多加了 $2 \times 4 = 8$ 。

2 (x^{2} + 4 x) = 2 [(x + 2)^{2} - 4] = 2 (x + 2)^{2} - 8

。先在括号里面加了再减，最后再把括号乘开。

「首项系数不是 1，先提出来，在括号里配」

出处：学会配方

展品

“一个方程两个未知数，解不出来”

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 0

只有一个方程，却有两个未知数，所以求不出

x

和

y

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平常确实如此。但这里左边是两个非负数相加：谁也不能是负的，谁也没法替别人抵账，所以和为 $0$ 只能是两项都为 $0$ 。

(x - 1)^{2} = 0

且

(y + 2)^{2} = 0

，于是

x = 1

，

y = - 2

。一个方程，当两个用。

「平方和为 0，每一项都是 0」

出处：学会配方

展品

两边同除以 x，丢掉一个根

解

x^{2} = 5 x

：两边同除以

x

，得

x = 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x$ 可能等于 $0$ ，而 $0$ 不能做除数。事实上 $x = 0$ 代进去： $0 = 0$ ，它正是被除掉的那个根。

把所有项移到一边再分解：

x^{2} - 5 x = 0

，

x (x - 5) = 0

，所以

x = 0

或

x = 5

。

「含未知数的式子不能随手约掉——先移项，再分解」

出处：一元二次方程的解法

展品

开平方只写了正的那个

解

(x - 1)^{2} = 4

：开平方得

x - 1 = 2

，所以

x = 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平方等于 $4$ 的数有两个： $2$ 和 $- 2$ 。只写一个，就把 $x - 1 = - 2$ 这条路堵死了。

x - 1 = \pm 2

，所以

x = 3

或

x = - 1

。两个都代回去验一验。

「开平方，正负两个都要写」

出处：一元二次方程的解法

展品

套公式时把 −b 的符号弄丢

解

x^{2} - 3 x - 1 = 0

：

x = \frac{- 3 \pm 13}{2}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　这里 $b = - 3$ ，公式里是 $- b$ ，也就是 $- (- 3) = + 3$ 。系数要连同符号一起认。

先写清楚

a = 1, b = - 3, c = - 1

，

Δ = 9 + 4 = 13

，于是

x = \frac{3 \pm 13}{2}

。

「先把 a、b、c 连符号写下来，再往公式里放」

出处：一元二次方程的解法

展品

只算 Δ，忘了二次项系数不能为 0

方程

k x^{2} - 4 x + 1 = 0

有两个不相等的实数根，求

k

的范围：

Δ = 16 - 4 k > 0

，所以

k < 4

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $k = 0$ 也满足 $k < 4$ ，可这时方程变成 $- 4 x + 1 = 0$ ，是一次方程，只有一个根。“两个根”这句话本身就要求它是二次方程。

两个条件一起写：

k \neq = 0

且

Δ = 16 - 4 k > 0

，所以

k < 4

且

k \neq = 0

。

「二次项系数含字母，先写一句“它不等于 0”」

出处：根的判别式

展品

“有实数根”写成了 Δ > 0

方程

x^{2} - 6 x + m = 0

有实数根，所以

Δ = 36 - 4 m > 0

，

m < 9

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“有实数根”包括两根相等的情形。 $m = 9$ 时方程是 $(x - 3)^{2} = 0$ ，根是 $3$ ，当然算有实数根。

有实数根

⟺ Δ \geq 0

，所以

m \leq 9

。只有题目说“两个不相等的实数根”才用

Δ > 0

。

「有实根是 ≥，不等实根才是 >」

出处：根的判别式

展品

算 Δ 时 c 是负数却减了过去

x^{2} - 3 x - 2 = 0

：

Δ = (- 3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $c = - 2$ ，所以 $- 4 a c = - 4 \times 1 \times (- 2) = + 8$ 。把负号弄丢， $Δ$ 就从 $17$ 变成了 $1$ 。

Δ = 9 - 4 \times 1 \times (- 2) = 9 + 8 = 17

。

a

、

c

异号时，

Δ

一定是正的。

「a、c 异号，Δ 必为正——可以用来检查」

出处：根的判别式

展品

两根之和忘了变号

x^{2} - 5 x + 6 = 0

的两根之和是

- 5

，两根之积是

6

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ 展开后一次项是 $- (x_{1} + x_{2}) x$ ，所以两根之和等于一次项系数的相反数。这里两根是 $2$ 和 $3$ ，和明明是 $+ 5$ 。

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 5}{1} = 5

，

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 6

。

「和要变号，积不变号」

出处：韦达定理

展品

用了韦达定理，却没查 Δ

方程

x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0

有两个实数根

x_{1}, x_{2}

。

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (2 m)^{2} - 2 (m + 2) = 4 (m - \frac{1}{4})^{2} - \frac{17}{4}

，所以最小值是

- \frac{17}{4}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　两个实数的平方和不可能是负数！问题出在 $m = \frac{1}{4}$ 时 $Δ = 4 m^{2} - 4 m - 8 < 0$ ，方程根本没有实数根， $x_{1}, x_{2}$ 不存在。

先保证有实根：

Δ \geq 0

即

m^{2} - m - 2 \geq 0

，得

m \leq - 1

或

m \geq 2

。在这个范围里，

4 m^{2} - 2 m - 4

在

m = - 1

时最小，等于

2

（此时两根都是

- 1

）。

「韦达定理说的是“根”的事——先确认根存在」

出处：韦达定理

展品

首项系数不是 1，忘了除以 a

2 x^{2} - 6 x - 5 = 0

的两根之和是

6

，两根之积是

- 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　韦达定理是对 $x^{2} + p x + q = 0$ 这种首项系数为 $1$ 的方程读系数的。首项系数是 $2$ ，要先两边除以 $2$ 。

除以

2

：

x^{2} - 3 x - \frac{5}{2} = 0

。所以

x_{1} + x_{2} = 3

，

x_{1} x_{2} = - \frac{5}{2}

。

「先把首项系数化成 1，或者记住除以 a」

出处：韦达定理

展品

解出 t 就交卷

解

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

：设

t = x^{2}

，

t^{2} - 5 t + 4 = 0

，所以答案是

1

和

4

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $1$ 和 $4$ 是 $t$ 的值，不是 $x$ 的值。题目问的是 $x$ ； $t$ 只是我们自己请来帮忙的。

把每个

t

送回

t = x^{2}

：

x^{2} = 1

得

x = \pm 1

；

x^{2} = 4

得

x = \pm 2

。一共四个根。

「换元有去有回——设了什么，最后就要换回什么」

出处：高次方程

展品

t 是负数，照样开方

解

x^{4} - x^{2} - 6 = 0

：

t = x^{2}

，

t = 3

或

t = - 2

，所以

x = \pm 3

或

x = \pm 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $t = - 2$ 意味着 $x^{2} = - 2$ 。实数的平方不会是负数，这一支没有实数解； $\pm 2$ 的平方是 $+ 2$ ，不是 $- 2$ 。

设

t = x^{2}

时就在旁边写上

t \geq 0

。

t = - 2

舍去，只剩

x = \pm 3

。

「换元的同时，把新字母的取值范围一起带上」

出处：高次方程

展品

两边约去 x，丢了 x = 0

解

x^{3} = 9 x

：两边除以

x

，

x^{2} = 9

，

x = \pm 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x = 0$ 时两边都是 $0$ ，它也是根。除以 $x$ 的前提是 $x \neq = 0$ ，这一步把它悄悄排除了。

移项提公因式：

x^{3} - 9 x = x (x - 3) (x + 3) = 0

，所以

x = 0, 3, - 3

。

「高次方程降次靠“分解”，不靠“约掉”」

出处：高次方程

展品

解出来就收工，不检验

解

\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{x - 2}

：去分母得

1 + 3 (x - 2) = x - 1

，解得

x = 2

。所以方程的解是

x = 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x = 2$ 时分母 $x - 2 = 0$ ，原方程两边都没有意义。它只是整式方程 $1 + 3 (x - 2) = x - 1$ 的根，不是原方程的根——这种根叫增根。

把

x = 2

代入公分母：

x - 2 = 0

。所以

x = 2

是增根，舍去；原方程无解。

「分式方程的最后一步永远是检验」

出处：分式方程

展品

去分母时，漏乘没有分母的项

解

\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{x - 2}

：两边同乘

x - 2

，得

1 + 3 = x - 1

，所以

x = 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“两边同乘 $x - 2$ ”是每一项都乘。 $3$ 没有分母，更要乘：它应该变成 $3 (x - 2)$ 。把 $x = 5$ 代回去：左边 $\frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$ ，右边 $\frac{4}{3}$ ，不相等。

1 + 3 (x - 2) = x - 1

，即

3 x - 5 = x - 1

，

x = 2

；再检验，发现它是增根，原方程无解。

「同乘公分母时，一项都不能少」

出处：分式方程

展品

平方之后解出几个就写几个

解

x + 5 = x - 1

：平方得

x + 5 = x^{2} - 2 x + 1

，即

x^{2} - 3 x - 4 = 0

，所以

x = 4

或

x = - 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x = - 1$ 时，左边 $4 = 2$ ，右边 $- 1 - 1 = - 2$ 。算术平方根不可能等于负数。 $x = - 1$ 满足的其实是 $- x + 5 = x - 1$ ——它和原方程平方之后一模一样。

逐个代回原方程：

x = 4

时两边都是

3

，成立；

x = - 1

是增根，舍去。所以

x = 4

。

「平方会把 a = b 和 a = −b 混在一起，解完必须代回原方程」

出处：无理方程

展品

平方时，把右边一项一项地平方

解

x + 9 = x + 3

：平方得

x + 9 = x^{2} + 9

，所以

x^{2} - x = 0

，

x = 0

或

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(x + 3)^{2}$ 不是 $x^{2} + 9$ ，中间还有 $6 x$ 。把 $x = 1$ 代回去：左边 $10$ ，右边 $4$ ，不相等。

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

，所以

x + 9 = x^{2} + 6 x + 9

，

x^{2} + 5 x = 0

，

x = 0

或

x = - 5

。检验：

x = 0

时两边都是

3

；

x = - 5

时左边

2

、右边

- 2

，是增根。所以

x = 0

。

「平方的是“整个右边”，要用完全平方公式」

出处：无理方程

展品

求出 x 后，代回二次方程求 y

解

2 x - y = 5

，

x^{2} + y^{2} = 10

：消元得

x = 1

或

x = 3

。把

x = 1

代入

x^{2} + y^{2} = 10

，得

y = \pm 3

，所以

(1, 3)

也是解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(1, 3)$ 在圆上，但不在直线上： $2 \times 1 - 3 = - 1 \neq = 5$ 。二次方程对每个 $x$ 给出两个 $y$ ，其中只有一个同时满足一次方程。

回代永远代入一次方程：

y = 2 x - 5

。

x = 1

时

y = - 3

；

x = 3

时

y = 1

。解是

(1, - 3)

和

(3, 1)

。

「回代用一次方程，一个 x 只配一个 y」

出处：二元二次方程组

展品

两边同除以含未知数的式子，丢了解

解

x y = 2 x

，

x + y = 3

：第一个方程两边除以

x

，得

y = 2

，于是

x = 1

。解是

(1, 2)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　除以 $x$ 的前提是 $x \neq = 0$ 。可 $x = 0$ 恰好让 $x y = 2 x$ 成立（ $0 = 0$ ），这时 $y = 3$ 。 $(0, 3)$ 也是解，被除掉了。这和增根正相反，叫失根。

移项、提公因式：

x (y - 2) = 0

，所以

x = 0

或

y = 2

。分别代入

x + y = 3

，得

(0, 3)

和

(1, 2)

。

「不要除以可能为 0 的式子，改成“乘积等于 0”」

出处：二元二次方程组

展品

通解的步长写反了

3 x + 5 y = 47

的一组解是

(4, 7)

，所以全部整数解是

x = 4 + 3 t

，

y = 7 - 5 t

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　取 $t = 1$ 试试： $(7, 2)$ ， $3 \times 7 + 5 \times 2 = 31 \neq = 47$ 。 $x$ 增加 $3$ 时左边多了 $9$ ， $y$ 减少 $5$ 时左边少了 $25$ ，没有抵消。

要让变化互相抵消：

x

加

5

（

y

的系数），左边多

15

；

y

减

3

（

x

的系数），左边少

15

。所以

x = 4 + 5 t

，

y = 7 - 3 t

。

「x 的步长是 y 的系数，y 的步长是 x 的系数，一加一减」

出处：方程的整数解

展品

分解因数时只想到正因数

求

(x - 3) (y - 2) = 6

的整数解：

6 = 1 \times 6 = 2 \times 3 = 3 \times 2 = 6 \times 1

，所以有

4

组。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目要的是整数解，不是正整数解。两个负数相乘也可以得 $6$ ： $(- 1) \times (- 6)$ 、 $(- 2) \times (- 3)$ 、 $(- 3) \times (- 2)$ 、 $(- 6) \times (- 1)$ 。

正负因数对一共

8

种，每种给出一组解，共

8

组。例如

x - 3 = - 1

，

y - 2 = - 6

给出

(2, - 4)

。

「先看清要的是整数解还是正整数解」

出处：方程的整数解

展品

Δ 是完全平方数，就断定根是整数

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

：

Δ = 9 - 8 = 1

是完全平方数，所以两个根都是整数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $Δ$ 是完全平方数只保证根号能开尽，根是有理数。公式里还要除以 $2 a$ ： $x = \frac{3 \pm 1}{4}$ ，得到 $1$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

把

Δ

是完全平方数当作第一道筛子，筛过之后还要把根真的算出来，看分子能不能被

2 a

整除。

「Δ 是平方数是必要条件，不是充分条件」

出处：二次方程的整数根

展品

分解因数时只写了正的

(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 4

，所以

(x_{1} - 1, x_{2} - 1)

只能是

(1, 4)

、

(2, 2)

、

(4, 1)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目只说根是整数，没说是正整数。 $4 = (- 1) \times (- 4) = (- 2) \times (- 2)$ 也是整数分解，漏掉它们就漏掉了 $k = - 3$ 和 $k = - 2$ 。

把

4

的整数因数对全部列出：

(\pm 1, \pm 4)

、

(\pm 2, \pm 2)

、

(\pm 4, \pm 1)

，正负号成对出现，再逐个算出

k

。

「整数的因数有正有负，列全了再筛」

出处：二次方程的整数根

展品

平均速度 = 速度的平均？

去时每小时

60

千米，原路返回每小时

40

千米，所以往返的平均速度是

(60 + 40) \div 2 = 50

千米/时。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平均速度是总路程 ÷ 总时间。回程慢，花的时间更长，慢的那段在总时间里占得更多，平均速度会被拉向 $40$ 。

设单程

s

千米：总时间

\frac{s}{60} + \frac{s}{40} = \frac{s}{24}

小时，平均速度

2 s \div \frac{s}{24} = 48

千米/时。

「先问“总量 ÷ 总量”，别急着把两个速度相加除以 2」

出处：列方程解应用题

展品

两个人的表没对齐

货车先走

1

小时，轿车才出发。设

x

小时后相遇：

50 x + 65 x = 280

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　式子里两个 $x$ 不是同一段时间：货车比轿车多走了 $1$ 小时。 $x$ 到底从谁出发开始算，必须先说清楚。

设轿车出发后

x

小时相遇，货车就走了

(x + 1)

小时：

50 (x + 1) + 65 x = 280

。

「设未知数时，写清楚它从哪一刻、哪一点量起」

出处：列方程解应用题

展品

解出 x 就交卷

乙先走

1

小时，甲去追。设乙出发

t

小时后被追上，解得

t = 3

。答：甲用了

3

小时追上乙。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $t = 3$ 是乙走的时间。甲晚出发 $1$ 小时，只走了 $2$ 小时。方程解对了，问题答错了。

解完回到题目，重读一遍问的是什么：甲追了

3 - 1 = 2

小时。再检验答案是否合乎实际（时间不为负、人数是整数……）。

「最后一步是“答”，不是“解”」

出处：列方程解应用题

展品

化简之后忘了回头检验

解

\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + 2

：两边乘

x - 1

，得

x = 1 + 2 (x - 1)

，所以

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“两边乘 $x - 1$ ”这一步只有在 $x - 1 \neq = 0$ 时才不改变解。求出来的恰好是 $x = 1$ ，它让原方程的分母等于 $0$ ，原方程在这里根本没有意义。

把

x = 1

代回分母检验：

x - 1 = 0

，是增根，舍去。原方程无解。

「去分母、两边平方之后，必须回到原方程验根」

出处：方程知识图

卷三《一次函数与二次函数》展厅

展品

只看指数，忘了 k ≠ 0

y = (m - 2) x^{∣ m ∣ - 1} + 3

是一次函数，所以

∣ m ∣ - 1 = 1

，

m = \pm 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $m = 2$ 时， $x$ 前面的系数 $m - 2 = 0$ ，式子变成 $y = 3$ 。它的图象是一条水平线，不是一次函数。

两个条件一起列：

∣ m ∣ - 1 = 1

并且

m - 2 \neq = 0

。所以只有

m = - 2

。

「一次函数 y = kx + b，先写上 k ≠ 0」

出处：一次函数的图象与性质

展品

把截距当成距离

直线

y = 2 x - 6

在

y

轴上的截距是

6

，与

x

轴交于

(- 3, 0)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　截距是交点的坐标，可以是负数：令 $x = 0$ 得 $y = - 6$ 。求与 $x$ 轴的交点要令 $y = 0$ ： $2 x - 6 = 0$ ， $x = 3$ ，符号别顺手抄反。

与

y

轴交于

(0, - 6)

，截距是

- 6

；与

x

轴交于

(3, 0)

。

「求哪条轴上的交点，就令另一个坐标等于 0」

出处：一次函数的图象与性质

展品

顶点横坐标的符号抄反

y = 2 (x + 3)^{2} - 5

的顶点是

(3, - 5)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　顶点式是 $y = a (x - h)^{2} + k$ ，括号里是减 $h$ 。 $x + 3 = x - (- 3)$ ，所以 $h = - 3$ 。也可以直接想：平方项什么时候等于 $0$ ？当 $x = - 3$ 时。

顶点是

(- 3, - 5)

，对称轴是

x = - 3

。

「顶点的横坐标，就是让平方项等于 0 的那个 x」

出处：二次函数的图象与性质

展品

配方时忘了括号外面的系数

y = 2 x^{2} - 8 x + 1 = 2 (x^{2} - 4 x + 4) + 1 - 4 = 2 (x - 2)^{2} - 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　括号里添的 $4$ 被外面的 $2$ 乘过，实际上多加了 $8$ ，所以后面要减 $8$ ，不是减 $4$ 。

y = 2 (x^{2} - 4 x + 4) + 1 - 8 = 2 (x - 2)^{2} - 7

。展开检验：

2 x^{2} - 8 x + 8 - 7 = 2 x^{2} - 8 x + 1

。

「括号里添多少，外面要补回“系数 × 它”」

出处：二次函数的图象与性质

展品

“有两个实数根”，忘了它得先是二次方程

方程

k x^{2} - 4 x + 2 = 0

有两个不相等的实数根，所以

Δ = 16 - 8 k > 0

，

k < 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $k = 0$ 也满足 $k < 2$ ，可这时方程是 $- 4 x + 2 = 0$ ，只有一个根。说“两个根”，方程必须是二次的。

k < 2

且

k \neq = 0

。

「用判别式之前，先确认二次项系数不为 0」

出处：函数与一元二次方程

展品

“只有一个交点”，只想到相切

函数

y = k x^{2} - 4 x + 2

的图象与

x

轴只有一个交点，所以

Δ = 16 - 8 k = 0

，

k = 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目说的是“函数”，没说“二次函数”。 $k = 0$ 时它是直线 $y = - 4 x + 2$ ，和 $x$ 轴也恰好只有一个交点。

分两种情况：

k = 0

（直线）或

k \neq = 0

且

Δ = 0

（相切）。所以

k = 0

或

k = 2

。

「没说“二次”，就要讨论二次项系数等于 0」

出处：函数与一元二次方程

展品

两边乘 −1，不等号没变向

- x^{2} + 2 x + 3 > 0

，两边乘

- 1

得

x^{2} - 2 x - 3 > 0

，所以

x < - 1

或

x > 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　不等式两边同乘一个负数，不等号要变向。正确的是 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 。

x^{2} - 2 x - 3 < 0

，即

(x + 1) (x - 3) < 0

，解是

- 1 < x < 3

。代

x = 0

检验原式：

3 > 0

，对。

「乘（除）以负数，不等号掉头；做完代一个数检验」

出处：函数与二次不等式

展品

把 x² > 4 当成方程来“开方”

x^{2} > 4

，所以

x > \pm 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“ $x > \pm 2$ ”不是一个有意义的范围。 $x^{2} > 4$ 说的是 $x$ 到原点的距离大于 $2$ ，在数轴上是两段。

移项成

x^{2} - 4 > 0

，图象在

x

轴上方的部分是两根之外：

x < - 2

或

x > 2

。

「不等式不能像方程那样两边直接开方」

出处：函数与二次不等式

展品

“恒成立”漏掉二次项系数为 0

m x^{2} + 2 m x + 1 > 0

对一切实数

x

成立，所以

m > 0

且

Δ = 4 m^{2} - 4 m < 0

，得

0 < m < 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $m = 0$ 时不等式变成 $1 > 0$ ，同样对一切 $x$ 成立。上面的做法默认了它是二次的。

分两种情况：

m = 0

时成立；

m \neq = 0

时需要

m > 0

且

Δ < 0

，即

0 < m < 1

。合起来

0 \leq m < 1

。

「二次项系数含字母，先单独看它等于 0 的情况」

出处：函数与二次不等式

展品

不看区间，直接取顶点

求

y = x^{2} - 4 x + 5

在

3 \leq x \leq 5

上的最小值：

y = (x - 2)^{2} + 1

，所以最小值是

1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $y = 1$ 要在 $x = 2$ 时才取到，可 $2$ 不在 $3 \leq x \leq 5$ 里。在这个区间上，函数一直在上升。

对称轴

x = 2

在区间左边，最小值在左端点：

x = 3

时

y = 2

。

「先问顶点在不在区间里」

出处：函数的最值

展品

对称轴含字母，却不分类

f (x) = x^{2} - 2 a x + 3

在

0 \leq x \leq 2

上的最小值是

f (a) = 3 - a^{2}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　只有当对称轴 $x = a$ 落在区间里（ $0 \leq a \leq 2$ ）时，最小值才在顶点。 $a < 0$ 时最小值是 $f (0) = 3$ ， $a > 2$ 时是 $f (2) = 7 - 4 a$ 。

分三种情况写：

a < 0

时为

3

；

0 \leq a \leq 2

时为

3 - a^{2}

；

a > 2

时为

7 - 4 a

。

「轴会动，就按“左、内、右”分三段」

出处：函数的最值

展品

判别式是完全平方数，就以为根是整数

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

的

Δ = 9 - 8 = 1

是完全平方数，所以两根都是整数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $Δ$ 是完全平方数只保证根是有理数。根是 $\frac{3 \pm 1}{4}$ ，即 $1$ 和 $\frac{1}{2}$ ：分子还要能被 $2 a$ 整除才行。

求出

Δ

之后把根真的算出来，或者改用因式分解：

(2 x - 1) (x - 1) = 0

。

「Δ 是平方数只是入场券，还要验根」

出处：有关整数根问题

展品

没问清是不是二次方程

方程

m x^{2} - (3 m + 2) x + 6 = 0

的根都是整数：

(m x - 2) (x - 3) = 0

，根为

3

和

\frac{2}{m}

，所以

m = \pm 1, \pm 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目没说“二次方程”。 $m = 0$ 时方程是 $- 2 x + 6 = 0$ ，唯一的根 $x = 3$ 也是整数，这个 $m$ 被漏掉了。

先讨论

m = 0

（符合），再讨论

m \neq = 0

。答案是

m = 0, \pm 1, \pm 2

。

「二次项系数含参数，先单独看它等于 0」

出处：有关整数根问题

展品

求出顶点，却忘了题目的限制

进价

40

元，售价

p

元时利润

w = (p - 40) (900 - 10 p)

，顶点在

p = 65

，所以定价

65

元。（题目规定售价不得高于

62

元。）

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $65$ 不在允许的范围里。在 $p \leq 62$ 这一段，利润随售价一直上升，最高点在范围的边上。

取

p = 62

：

w = 22 \times 280 = 6160

元。

「应用题的自变量都有范围，先写范围再求最值」

出处：函数的应用

展品

把 h–t 图象当成球的飞行路线

竖直上抛的小球，高度

h = 20 t - 5 t^{2}

的图象是抛物线，所以小球沿抛物线飞出去，落在

4

米远的地方。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　横轴是时间，不是水平距离。球一直在同一条竖直线上运动；图象上的“ $4$ ”是 $4$ 秒，不是 $4$ 米。

读图时先看两条轴各代表什么：

t = 4

秒时

h = 0

，说明球在

4

秒后落回原地。

「读图先读坐标轴」

出处：函数的应用

卷四《三角形与四边形》展厅

展品

只验了一个不等式

长为

3

、

4

、

8

的三条线段：因为

3 + 8 > 4

，所以能围成三角形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“两边之和大于第三边”要对三种搭配都成立。 $3 + 8 > 4$ 和 $4 + 8 > 3$ 当然成立，真正危险的是 $3 + 4$ 与 $8$ 的比较： $3 + 4 = 7 < 8$ 。

只需检查较短的两条之和是否大于最长的一条。这里

3 + 4 < 8

，围不成。

「最短的两条加起来，去和最长的比」

出处：三角形的基本概念和性质

展品

等腰三角形分类后忘了检验

等腰三角形的两边长是

3

和

7

，周长是

3 + 3 + 7 = 13

或

3 + 7 + 7 = 17

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　分两种情况是对的，但每种情况都要问一句“围得成吗”。腰长为 $3$ 时， $3 + 3 = 6 < 7$ ，这个三角形不存在。

只有腰长为

7

的情况成立，周长是

17

。

「分类讨论的每一类，都要回头检验」

出处：三角形的基本概念和性质

展品

高不相同，也拿底边去比

△ A B D

与

△ A C E

的底

B D = 2

、

C E = 3

，所以面积比是

2 : 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“面积比 = 底边比”只在高相同时成立。两个三角形的底不在同一条直线上，或者顶点不是同一个，高一般就不相等。

先找公共的高（底在同一直线上、顶点相同），或者公共的底（那就比高）。两样都没有，就先用一个中间三角形搭桥。

「先确认“什么是公共的”，再比」

出处：三角形的面积、边角间关系定理

展品

共边定理里比错了线段

△ P A B

与

△ Q A B

有公共边

A B

，

P Q

交

A B

于

M

，所以面积比是

A M : M B

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $A M : M B$ 是公共边自己被分成的两段，它比的是 $△ P A M$ 与 $△ P M B$ 。两个共边三角形的面积比，是另外两个顶点到 $M$ 的距离之比。

S_{△ P A B} : S_{△ Q A B} = P M : QM

。记法：谁不在公共边上，就比谁。

「公共边不参与比，比的是另外两个顶点」

出处：三角形的面积、边角间关系定理

展品

把“边边角”当成判定定理

A B = D E

，

B C = E F

，

∠ A = ∠ D

，所以

△ A B C ≅ △ D E F

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　相等的角 $∠ A$ 不是两条已知边 $A B$ 、 $B C$ 的夹角，而是其中一边的对角。同样的两边一对角，可以画出一胖一瘦两个不同的三角形。

要用 SAS，角必须夹在两边之间（这里应是

∠ B = ∠ E

）。如果已知的是对角，就再找一个条件：另一个角（AAS），或者说明它是直角（HL）。

「SAS 的 A 必须写在中间，也必须长在中间」

出处：全等三角形

展品

对应顶点没对齐

由

△ A B C ≅ △ D E F

得

A B = E F

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　全等式里字母的顺序就是对应关系： $A \leftrightarrow D$ ， $B \leftrightarrow E$ ， $C \leftrightarrow F$ 。 $A B$ 对应的是 $D E$ ，不是 $E F$ 。

按位置读：第 1、2 个字母组成的边对第 1、2 个字母组成的边，

A B = D E

，

B C = E F

，

A C = D F

。写全等式时就把对应顶点排在相同位置。

「写全等式时把对应顶点对齐，之后只管按位置读」

出处：全等三角形

展品

把面积比当成相似比

两个相似三角形的相似比是

2 : 3

，所以面积比也是

2 : 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　放大 $k$ 倍时，底乘了 $k$ ，高也乘了 $k$ ，面积乘的是 $k^{2}$ 。

面积比

= 2^{2} : 3^{2} = 4 : 9

。反过来，已知面积比

4 : 9

，相似比要开平方得

2 : 3

。

「长度比是 k，面积比是 k²」

出处：相似三角形

展品

平行线截出的比，分母写错

D E ∥ B C

，

A D = 4

，

D B = 6

，所以

\frac{D E}{B C} = \frac{4}{6}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $△ A D E \sim △ A B C$ 的对应边是 $A D$ 与 $A B$ ，不是 $A D$ 与 $D B$ 。 $\frac{A D}{D B} = \frac{4}{6}$ 没错，但它等于的是 $\frac{A E}{E C}$ 。

\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A B} = \frac{4}{10}

。带上第三边

D E

、

B C

时，一定用“小三角形的边 : 大三角形的边”。

「部分比部分，整体比整体，别混着写」

出处：相似三角形

展品

乘积等于 1，就说三点共线

D

、

E

、

F

都在三角形的边上（不在延长线上），且

\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1

，所以

D

、

E

、

F

三点共线。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　三个点都在边的内部时，一条直线不可能同时穿过三条边的内部。这时乘积为 $1$ 说的是塞瓦： $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 三线共点。

先数有几个点在延长线上：

0

个或

2

个 → 塞瓦（三线共点）；

1

个或

3

个 → 梅涅劳斯（三点共线）。

「同一个式子，两个定理；先数延长线上的点」

出处：三角形中与比例线段有关的几个定理

展品

三个比没有“首尾相接”

塞瓦定理：

\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{E A}{C E} = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　第三个比写反了。正确的写法绕三角形走一圈： $A \to F \to B \to D \to C \to E \to A$ ，每个比都是“顶点到分点 : 分点到下一个顶点”。

\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1

。检查方法：把分子分母里的字母连起来读，应该正好绕回起点。

「从一个顶点出发，绕一圈回到原地」

出处：三角形中与比例线段有关的几个定理

展品

内心、外心的定义记反

内心是三边垂直平分线的交点，所以内心到三个顶点的距离相等。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　到三个顶点等距的点在三边的垂直平分线上，是外接圆的圆心——外心。内心是三条角平分线的交点，到三条边等距，是内切圆的圆心。

外心 ↔ 中垂线 ↔ 到顶点等距 ↔ 外接圆；内心 ↔ 角平分线 ↔ 到边等距 ↔ 内切圆。

「圆过顶点的是外心，圆贴着边的是内心」

出处：三角形的四心

展品

以为四心都在三角形内部

O

是

△ A B C

的外心，所以

O

在三角形内，

∠ B O C = 2∠ A

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　外心和垂心在钝角三角形里会跑到外面，在直角三角形里落在边上或顶点上。 $∠ A$ 是钝角时， $∠ B O C = 36 0^{\circ} - 2∠ A$ 。

涉及外心、垂心的题，先看三角形是锐角、直角还是钝角；没说就要分类讨论。重心和内心永远在内部，不用担心。

「外心、垂心会出门；重心、内心不会」

出处：三角形的四心

展品

以为连三边中点周长最短

内接三角形里，中点三角形最“匀称”，所以它的周长最短，等于原三角形周长的一半。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　中点三角形的周长确实是原周长的一半，但它一般不是最短的。最短要求每个顶点处“入射角 = 反射角”，中点做不到（除非原三角形是等边的）。

锐角三角形中，周长最短的内接三角形是垂足三角形（三条高的垂足）。在等边三角形里，垂足恰好就是中点，两者才重合。

「匀称不等于最短；最短的路是光走的路」

出处：三角形的内接三角形

展品

忘了“锐角三角形”这个前提

△ A B C

中

∠ A = 12 0^{\circ}

，它的垂足三角形是周长最短的内接三角形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　钝角三角形有两个垂足落在边的延长线上，垂足三角形根本不是“内接”的。这时周长没有最小值： $E$ 、 $F$ 越靠近 $A$ ，周长越接近 $2 A D$ （ $A D$ 是高），但永远取不到。

先判断三角形的类型。只有锐角三角形才能说“垂足三角形周长最短”。

「用结论之前，先核对它的前提」

出处：三角形的内接三角形

展品

默认已知的两条边都是直角边

直角三角形的两条边长是

3

和

4

，所以第三边是

5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目没说 $4$ 是直角边还是斜边。如果 $4$ 是斜边，第三边是 $4^{2} - 3^{2} = 7$ 。

分两种情况：

3

、

4

都是直角边时第三边为

5

；

4

是斜边时第三边为

7

。（

3

不可能是斜边，因为斜边最长。）

「先问一句：谁是斜边？」

出处：直角三角形

展品

用逆定理时没拿最长边当 c

三边长

5

、

13

、

12

：

5^{2} + 1 3^{2} = 194 \neq = 1 2^{2}

，所以不是直角三角形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　勾股定理的逆定理要检验的是：较短两边的平方和是否等于最长边的平方。这里最长边是 $13$ 。

5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}

，是直角三角形，直角对着长为

13

的边。

「最长的边才有资格当斜边」

出处：直角三角形

展品

已知一个角，默认它是顶角（或底角）

等腰三角形有一个角是

8 0^{\circ}

，所以它的底角是

\frac{18 0 ^{\circ} - 8 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $8 0^{\circ}$ 可能是顶角，也可能是底角。它是底角时，另一个底角也是 $8 0^{\circ}$ ，顶角是 $2 0^{\circ}$ 。

分两类：顶角

8 0^{\circ}

，底角

5 0^{\circ}

；或底角

8 0^{\circ}

，顶角

2 0^{\circ}

。只有当已知角是钝角或直角时才不用分类——它只能是顶角。

「等腰三角形里的“一个角”“一条边”，先问是哪一个」

出处：等腰三角形

展品

对腰上的线也用“三线合一”

A B = A C

，

B E

是腰

A C

上的中线，所以

B E ⊥ A C

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　三线合一说的是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高。从底角顶点 $B$ 出发到腰上的线，没有这个性质（除非三角形恰好是等边的）。

只对“从顶角顶点到底边”的那一条线用三线合一。腰上的中线、高、角平分线一般是三条不同的线。

「三线合一只发生在对称轴上」

出处：等腰三角形

展品

把“距离和是定值”用到一般三角形

P

是等腰三角形内任意一点，

P

到三边的距离之和等于腰上的高。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　证明里用到了“三条边都等于 $a$ ”才能把 $a$ 提出来。边长不全相等时， $P$ 靠近长边和靠近短边，距离和不一样。

只有等边三角形（内部或边上的点）才有“到三边距离之和 = 高”。等腰三角形有一个弱一些的结论：底边上的点到两腰的距离之和等于腰上的高。

「定值来自“三边相等”，少一条都不行」

出处：等边三角形

展品

旋转之后，忘了说明哪里出现了等边三角形

把

△ B P A

绕

B

旋转到

△ B P^{'} A^{'}

，所以

P P^{'} = P B

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　旋转只保证 $B P = B P^{'}$ 。要得到 $P P^{'} = P B$ ，还需要旋转角是 $6 0^{\circ}$ ：这时 $△ B P P^{'}$ 是顶角 $6 0^{\circ}$ 的等腰三角形，才是等边三角形。

写清两句：旋转 ⇒

B P = B P^{'}

；旋转角

6 0^{\circ}

⇒

∠ P B P^{'} = 6 0^{\circ}

⇒

△ B P P^{'}

等边 ⇒

P P^{'} = P B

。

「60° 是关键词，要写出来」

出处：等边三角形

展品

看原四边形的“边”来判断中点四边形

原四边形的四条边都不相等，所以它的中点四边形只是一般的平行四边形，不可能是菱形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　中点四边形的每条边都是某条对角线的一半，并且平行于那条对角线。它的形状由原四边形的两条对角线决定，和原四边形的边长没有直接关系。

对角线相等 ⇒ 中点四边形是菱形；对角线垂直 ⇒ 是矩形；既相等又垂直 ⇒ 是正方形。四条边各不相等的四边形，对角线完全可以相等。

「中点四边形看对角线，不看边」

出处：四边形的基本概念与性质

展品

以为凹四边形的内角和不是 360°

凹四边形有一个角“凹进去”了，所以内角和小于

36 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　凹进去的那个顶点处，内角是大于 $18 0^{\circ}$ 的那个角（在四边形内部的那一侧）。连接那条在内部的对角线，仍然把四边形分成两个三角形。

任何四边形（凸的或凹的）内角和都是

2 \times 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}

。打开上面图里的“内角”，把一个顶点拖进去验证。

「内角是“里面那一侧”的角，可以超过 180°」

出处：四边形的基本概念与性质

展品

“一组对边平行，另一组对边相等”

A B ∥ C D

，

A D = B C

，所以四边形

A B C D

是平行四边形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平行的是一组对边，相等的是另一组。等腰梯形正好满足这两个条件，它不是平行四边形。

判定定理要求同一组对边“平行且相等”：

A B ∥ C D

且

A B = C D

。或者改用“两组对边分别平行”“两组对边分别相等”。

「平行且相等，说的必须是同一组对边」

出处：平行四边形

展品

以为平行四边形的对角线相等

A B C D

是平行四边形，所以

A C = B D

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平行四边形的对角线互相平分，但一般不相等。对角线相等是矩形才有的性质。

平行四边形：

O A = O C

，

O B = O D

。想用

A C = B D

，先证明它是矩形。

「互相平分 ≠ 相等」

出处：平行四边形

展品

对角线相等的四边形就是矩形

四边形

A B C D

中

A C = B D

，所以它是矩形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　判定定理是“对角线相等的平行四边形是矩形”。丢掉“平行四边形”，等腰梯形、甚至很不规则的四边形都可以有相等的对角线。

先证明它是平行四边形（比如对角线互相平分），再加上对角线相等。合起来就是：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

「矩形、菱形的判定，都站在“平行四边形”的肩膀上」

出处：矩形与菱形

展品

对任意四边形用“对角线乘积的一半”

平行四边形的对角线长

6

和

8

，面积是

\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $S = \frac{1}{2} A C \cdot B D$ 成立的条件是对角线互相垂直（菱形、正方形、筝形）。一般的平行四边形，对角线夹角不是直角，面积比这个数小。

只在确认对角线垂直之后用这个公式。否则用“底 × 高”。

「公式跟着条件走：垂直，才有 ½·d₁·d₂」

出处：矩形与菱形

展品

四条边相等就是正方形

四边形的四条边都相等，所以它是正方形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　四条边相等只能保证它是菱形。把一个正方形框架推歪，边长没变，角变了。

正方形 = 菱形 + 一个直角 = 矩形 + 一组邻边相等。两个方面（边、角）都要验证。

「正方形要过两关：边相等，角是直角」

出处：正方形

展品

对角线垂直且相等就是正方形

四边形的对角线互相垂直且相等，所以它是正方形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　还缺“互相平分”。两条一样长、互相垂直、但不在中点相交的线段，端点连成的四边形并不是正方形。

对角线互相平分（平行四边形）、相等（矩形）、垂直（菱形），三条齐了才是正方形。

「平分、相等、垂直，三个词一个都不能少」

出处：正方形

展品

把“两底之差的一半”当成中位线

梯形的上底是

4

，下底是

10

，所以中位线长

\frac{10 - 4}{2} = 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　中位线（两腰中点的连线）等于两底之和的一半。两底之差的一半是另一条线段：两条对角线中点的连线。

中位线

= \frac{4 + 10}{2} = 7

。对角线中点的连线才是

\frac{10 - 4}{2} = 3

，它也在中位线所在的直线上。

「腰的中点 → 和的一半；对角线的中点 → 差的一半」

出处：梯形

展品

把平行四边形也算作梯形

平行四边形有一组对边平行，所以它是特殊的梯形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　按教材的定义，梯形是只有一组对边平行的四边形，另一组对边（两腰）不平行。平行四边形有两组，不算梯形。

证明一个四边形是梯形要说两件事：一组对边平行；另一组对边不平行（或者平行的那组对边不相等）。

「梯形的定义里有一个“只”字」

出处：梯形

展品

把“对角互补”记成“对角相等”

四边形

A B C D

内接于圆，

∠ A = 7 0^{\circ}

，所以

∠ C = 7 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　对角相等是平行四边形的性质。圆内接四边形的对角是互补的： $∠ A$ 和 $∠ C$ 所对的两段弧合起来是整个圆。

∠ C = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}

。相等的是另一对角：

∠ A

等于

C

处的外角。

「圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角」

出处：圆内接四边形与圆外切四边形

展品

把“对边之和相等”记成“对边相等”

四边形

A B C D

外切于圆，

A B = 5

，所以

C D = 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　圆外切四边形的结论是 $A B + C D = B C + D A$ ——两组对边的和相等，不是对边各自相等。

要求

C D

，需要另外三条边：

C D = B C + D A - A B

。

「外切四边形：a + c = b + d」

出处：圆内接四边形与圆外切四边形

卷五《圆》展厅

展品

弓形面积一律“扇形减三角形”

半径为

2

的圆中，

27 0^{\circ}

的弧所对的弓形面积是

\frac{270 π \cdot 2 ^{2}}{360} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 3 π - 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　弧超过半圆时，弓形把圆心包在里面，它比扇形还多出一个三角形。减掉三角形，就把本来属于弓形的一块扔了。

弧小于半圆：弓形

=

扇形

-

三角形。弧大于半圆：弓形

=

扇形

+

三角形。这里是

3 π + 2

。也可以用整个圆减去小弓形来验算：

4 π - (π - 2) = 3 π + 2

。

「先看圆心在弓形里面还是外面」

出处：圆、扇形、弓形的周长和面积

展品

弧长公式和面积公式串了味

圆心角

6 0^{\circ}

、半径

6

的扇形面积是

\frac{60 π \times 6}{180} = 2 π

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $\frac{nπ r}{180}$ 算出来的是弧长，单位是长度。面积必须出现 $r^{2}$ 。

扇形面积

= \frac{nπ r ^{2}}{360} = \frac{60 π \times 36}{360} = 6 π

。或者先算弧长

l = 2 π

，再用

S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \times 2 π \times 6 = 6 π

。

「弧长是圆周长的几分之几，面积是圆面积的几分之几」

出处：圆、扇形、弓形的周长和面积

展品

“平分弦的直径垂直于弦”，不加条件就用

A B

、

C D

都是圆

O

的直径。因为

C D

过

A B

的中点

O

，所以

C D ⊥ A B

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　任何两条直径都在圆心互相平分，但它们可以夹任意角度。垂径定理的逆定理要求被平分的弦不是直径。

正确的说法：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。用之前先确认那条弦不过圆心。

「逆定理里藏着一个括号：弦不是直径」

出处：圆的对称性

展品

两条平行弦，只画了一种图

半径为

5

的圆中，弦

A B = 6

，

C D = 8

，

A B ∥ C D

。弦心距分别是

4

和

3

，所以两弦的距离是

4 - 3 = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目没有说两条弦在圆心的同一侧。它们也可以一上一下，把圆心夹在中间。

在圆心同侧：

4 - 3 = 1

。在圆心两侧：

4 + 3 = 7

。答案是

1

或

7

。

「没有图的圆的题目，先问“还能画成别的样子吗”」

出处：圆的对称性

展品

一条弦只对着一个圆周角

圆的半径是

4

，弦

A B = 4

，所以弦

A B

所对的圆周角是

3 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　弦 $A B$ 把圆分成两条弧。顶点在优弧上时圆周角是 $3 0^{\circ}$ ，顶点在劣弧上时是 $15 0^{\circ}$ 。题目说的是“弦所对的圆周角”，没有说顶点在哪一侧，两个都要算。

先求圆心角：

△ O A B

是等边三角形，

∠ A O B = 6 0^{\circ}

。优弧上的圆周角是

3 0^{\circ}

，劣弧上的是

18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

。答案是

3 0^{\circ}

或

15 0^{\circ}

。

「说“弧所对的角”只有一个，说“弦所对的角”有两个」

出处：与圆有关的角

展品

顶点不在圆上，也当圆周角算

两条弦

A C

、

B D

交于圆内一点

E

，弧

A B

是

8 0^{\circ}

，所以

∠ A E B = 4 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“等于所对弧的一半”只对顶点在圆上的角成立。 $E$ 在圆内， $∠ A E B$ 比 $4 0^{\circ}$ 大——它还要加上对面那条弧 $C D$ 的一半。

连

B C

。

∠ A E B

是

△ E B C

的外角，等于

∠ A C B + ∠ D B C

，也就是弧

A B

的一半加弧

C D

的一半。

「先看顶点在圆上、圆内还是圆外，再选公式」

出处：与圆有关的角

展品

说到“相切”，只想到外切

两圆的半径是

7

和

2

，它们相切，所以圆心距是

7 + 2 = 9

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　相切有两种：小圆在大圆外面贴着（外切），或者在里面贴着（内切）。题目只说“相切”，两种都要算。

外切：

d = 7 + 2 = 9

。内切：

d = 7 - 2 = 5

。答案是

9

或

5

。

「相切有内外，“没有公共点”也有内外」

出处：与圆相关的位置关系

展品

没有公共点，就一定是外离

两圆没有公共点，半径是

5

和

3

，所以圆心距

d > 8

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　小圆整个藏在大圆里面（内含）时，两圆同样没有公共点。

没有公共点

\Leftrightarrow

外离或内含，即

d > 8

或

0 \leq d < 2

。

「数轴上有两段都是“没有公共点”」

出处：与圆相关的位置关系

展品

判定切线时少说半句

直线

l

经过半径

O A

的外端

A

，所以

l

是圆的切线。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　经过 $A$ 的直线有无数条，其中只有一条是切线。判定定理有两个条件：经过半径的外端，并且垂直于这条半径。少一个都不行。

证切线分两种情况。已知直线过圆上一点

A

：连

O A

，证

O A ⊥ l

。不知道公共点在哪：过

O

作

l

的垂线，证垂线段的长等于半径。

「有交点，连半径证垂直；无交点，作垂直证半径」

出处：圆的切线

展品

弦切角对错了弧

A T

是切线，弦切角

∠ B A T = 5 0^{\circ}

，

C

是圆上任意一点，所以

∠ A C B = 5 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　弦切角等于它夹住的那条弧所对的圆周角。 $C$ 如果恰好在被夹住的弧上， $∠ A C B$ 对着的是另一条弧，等于 $13 0^{\circ}$ 。

先找弦切角两边夹住的弧

A B

，再找顶点在另一条弧上的圆周角，它才等于

5 0^{\circ}

。

「弦切角和圆周角相等，前提是它们对着同一条弧」

出处：圆的切线

展品

两个角相等就说共圆，没看在不在同侧

∠ A C B = ∠ A D B = 4 0^{\circ}

，所以

A

、

B

、

C

、

D

四点共圆。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　如果 $C$ 、 $D$ 在直线 $A B$ 的两侧，同一个圆上的这两个角应该互补（ $4 0^{\circ}$ 和 $14 0^{\circ}$ ），而不是相等。两侧各一个 $4 0^{\circ}$ 的角，四点并不共圆。

用“张角相等”时写全：

C

、

D

在

A B

的同侧，且

∠ A C B = ∠ A D B

。如果在两侧，就改用“对角互补”：

∠ A C B + ∠ A D B = 18 0^{\circ}

。

「同侧看相等，异侧看互补」

出处：四点共圆

展品

把相邻的两个角加成了 180°

四边形

A B C D

中

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}

，所以它有外接圆。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ 说的是 $A D ∥ B C$ ，这是梯形或平行四边形的条件。共圆需要的是相对的两个角互补。

检查

∠ A + ∠ C

（或

∠ B + ∠ D

）是不是

18 0^{\circ}

。一般的平行四边形邻角互补、对角相等，除非是矩形，否则没有外接圆。

「对角互补才共圆，邻角互补是平行」

出处：四点共圆

展品

割线定理里用了弦长

P T

是切线，割线交圆于

A

、

B

，

P A = 4

，

A B = 5

，所以

P T^{2} = P A \cdot A B = 20

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　定理里的两条线段都是从 $P$ 出发量的： $P A$ 和 $P B$ 。 $A B$ 是弦长，不是从 $P$ 量起的。

P B = P A + A B = 9

，

P T^{2} = P A \cdot P B = 4 \times 9 = 36

，

P T = 6

。

「圆幂定理里的每条线段，都有一个端点是 P」

出处：圆幂定理

展品

两条直线上的线段配错了对

弦

A B

、

C D

交于

P

，所以

P A \cdot P C = P B \cdot P D

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　相乘的两段必须在同一条直线上：一条弦被 $P$ 分成的两段相乘，等于另一条弦被分成的两段相乘。

P A \cdot P B = P C \cdot P D

。记不住时回到相似：

△ P A D \sim △ P C B

，写出

\frac{P A}{P C} = \frac{P D}{P B}

再交叉相乘。

「同一条线上的两段相乘」

出处：圆幂定理

展品

把根轴当成连心线的垂直平分线

两圆的圆心是

O_{1}

、

O_{2}

，根轴就是线段

O_{1} O_{2}

的垂直平分线。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　垂直平分线上的点到两个圆心的距离相等，也就是 $P O_{1}^{2} = P O_{2}^{2}$ 。根轴要的是 $P O_{1}^{2} - r_{1}^{2} = P O_{2}^{2} - r_{2}^{2}$ 。只有两圆半径相等时这两件事才一样。

根轴确实垂直于连心线，但垂足

H

偏向小圆一侧：

O_{1} H = \frac{d ^{2} + r _{1}^{2} - r _{2}^{2}}{2 d}

。两圆相交时最省事——根轴就是公共弦所在的直线。

「根轴比的是幂，不是到圆心的距离」

出处：圆的幂及应用

展品

圆内的点，幂写成了正数

圆的半径是

5

，

O P = 3

，所以

P

的幂是

5^{2} - 3^{2} = 16

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　幂的定义是 $O P^{2} - r^{2}$ ，顺序不能换。 $P$ 在圆内时它是负数。过 $P$ 的弦被分成的两段之积等于它的绝对值。

P

的幂

= 3^{2} - 5^{2} = - 16

；过

P

的任何弦都有

P A \cdot P B = 16

。

「幂是“距离平方减半径平方”，圆内为负」

出处：圆的幂及应用

展品

把相邻的边配成了一对

圆内接四边形

A B C D

中，

A B \cdot B C + C D \cdot D A = A C \cdot B D

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　托勒密定理里相乘的是对边： $A B$ 配 $C D$ ， $A D$ 配 $B C$ 。相邻的两条边有公共顶点，不是一对。

A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D

。检查方法：每个乘积里，四个字母

A

、

B

、

C

、

D

应该各出现一次。

「每个乘积里四个顶点各出现一次」

出处：托勒密定理及其应用

展品

四点在圆上，但顺序不对

A

、

B

、

C

、

D

在同一个圆上，所以

A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　定理说的是圆内接四边形 $A B C D$ ，也就是四个点在圆上按 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的顺序排列， $A C$ 、 $B D$ 是对角线。如果圆上的顺序是 $A$ 、 $D$ 、 $B$ 、 $C$ ，那么 $A C$ 就成了边，等式不成立。

先在圆上按顺序读出四个点，确定哪两条是对角线（它们在圆内相交），再写等式：对角线的乘积单独放一边。

「先认清谁是对角线」

出处：托勒密定理及其应用

展品

以为内心到三个顶点一样远

I

是

△ A B C

的内心，所以

I A = I B = I C

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　到三个顶点距离相等的是外心（三边垂直平分线的交点）。内心是三条角平分线的交点，它到三条边的距离相等。

内心：

I

到

B C

、

C A

、

A B

的距离都是

r

。外心：

O A = O B = O C = R

。只有等边三角形的内心和外心是同一个点。

「外心等距于顶点，内心等距于边」

出处：三角形的外心与内心

展品

把 ∠BIC 当成 2∠A

I

是内心，

∠ A = 5 0^{\circ}

，所以

∠ B I C = 10 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $2∠ A$ 是外心处的角： $∠ B O C = 2∠ A$ （圆心角是圆周角的两倍， $∠ A$ 为锐角时）。内心处的角要用角平分线来算。

∠ B I C = 18 0^{\circ} - \frac{∠ B + ∠ C}{2} = 18 0^{\circ} - \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ A}{2} = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A = 11 5^{\circ}

。

「外心处是 2∠A，内心处是 90° + ½∠A」

出处：三角形的外心与内心

展品

没给图的题，只画了一种图

圆的半径是

2

，弦

A B = 23

，

C

是圆上一点，所以

∠ A C B = 6 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　圆心角 $∠ A O B = 12 0^{\circ}$ 没错，但 $C$ 可以在优弧上，也可以在劣弧上。两种位置的圆周角互补。

C

在优弧上：

∠ A C B = 6 0^{\circ}

；

C

在劣弧上：

∠ A C B = 12 0^{\circ}

。两个都要写。

「圆的题目先数情况：点在哪条弧？弦在圆心哪一侧？内切还是外切？」

出处：与圆有关的杂题

卷六《整除、同余与不定方程》展厅

展品

整除乘积，就以为整除其中一个因数

6 ∣ 4 \times 9

，所以

6 ∣ 4

或者

6 ∣ 9

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $6 = 2 \times 3$ 。那个 $2$ 藏在 $4$ 里，那个 $3$ 藏在 $9$ 里： $6$ 被拆开分给了两个因数，哪一个都没有拿到完整的 $6$ 。

只有当

a

是素数，或者

a

与

b

互素时，才能从

a ∣ b c

推出

a ∣ c

。这里

6 ∤ 4

，

6 ∤ 9

，但

6 ∣ 36

，三句话都对。

「合数可以被拆开，素数拆不开」

出处：整除的概念与基本性质

展品

觉得 0 不能被整除

0

里面一个

5

都没有，所以

5 ∤ 0

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　整除的定义是“存在整数 $q$ 使 $b = a q$ ”。 $0 = 5 \times 0$ ， $q = 0$ 就是一个整数。

任何非零整数都整除

0

：

5 ∣ 0

，

- 3 ∣ 0

。反过来，

0

只整除

0

自己，所以写

a ∣ b

时总是默认

a \neq = 0

。

「回到定义：找得到那个 q 吗」

出处：整除的概念与基本性质

展品

把 1 当成素数

1

只能被

1

和它自己整除，所以

1

是素数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　素数要有恰好两个不同的正因数， $1$ 只有一个。更要紧的是：如果 $1$ 算素数， $6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3$ ，分解就不唯一了。

正整数分三类：

1

；素数（大于

1

，只有

1

和自己两个正因数）；合数。

1

自成一类。

「1 既不是素数也不是合数」

出处：素数与合数

展品

试除只试了 2、3、5

91

是奇数，数字和

10

不被

3

整除，个位不是

0

或

5

，所以

91

是素数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $91 \approx 9.5$ ，不超过它的素数有 $2, 3, 5, 7$ ，还差 $7$ 没试。而 $91 = 7 \times 13$ 。

判断

n

是不是素数，要试完所有不超过

n

的素数。

「试到根号为止，一个也不能少」

出处：素数与合数

展品

以为“素数连乘加 1”一定是素数

2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031

不被前六个素数整除，所以它是素数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $30031 = 59 \times 509$ 。它只是不被 $2, 3, 5, 7, 11, 13$ 整除，没人保证它不被更大的素数整除。

欧几里得的论证只说：这个数的素因数不在原来的清单里。这已经足够说明清单不完整。

「证明用到什么，就只能说什么」

出处：素数与合数

展品

两个数都整除 n，就以为乘积也整除 n

4 ∣ 60

，

6 ∣ 60

，所以

4 \times 6 = 24 ∣ 60

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $4$ 和 $6$ 有公因数 $2$ ，它们“重叠”了一部分。 $60$ 里只需要装得下 $4$ 和 $6$ 的最小公倍数 $12$ ，不必装得下 $24$ 。

a ∣ n

且

b ∣ n

只能推出

[a, b] ∣ n

。当

(a, b) = 1

时

[a, b] = ab

，这时才有

ab ∣ n

。

「先看互不互素，再把两个整除合并」

出处：最大公因数与最小公倍数

展品

把最后的余数 0 当成最大公因数

51 = 2 \times 21 + 9

，

21 = 2 \times 9 + 3

，

9 = 3 \times 3 + 0

，所以

(51, 21) = 0

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　余数变成 $0$ 只是说“除尽了，可以停了”。答案是除尽它的那个除数，也就是最后一个不为零的余数。

最后一行是

9 = 3 \times 3 + 0

，除数是

3

，所以

(51, 21) = 3

。

「答案是最后一个非零余数」

出处：最大公因数与最小公倍数

展品

数因数时把“指数加一”相加

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，所以因数个数是

(3 + 1) + (2 + 1) = 7

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　选一个因数要做两个独立的决定： $2$ 的指数取 $0, 1, 2, 3$ 之一， $3$ 的指数取 $0, 1, 2$ 之一。每一种搭配都是一个不同的因数，所以是相乘。

(3 + 1) \times (2 + 1) = 12

个：

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

。

「分步做决定，用乘法」

出处：算术基本定理

展品

把最小公倍数当成乘积

[12, 18] = 12 \times 18 = 216

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $12 = 2^{2} \times 3$ ， $18 = 2 \times 3^{2}$ 。公倍数每个素数只要取较高的指数： $2^{2} \times 3^{2} = 36$ 。乘积把两根柱子都算进去了，多乘了一个 $(12, 18) = 6$ 。

[12, 18] = 36

，并且

6 \times 36 = 216 = 12 \times 18

。只有互素的两个数，最小公倍数才等于乘积。

「公倍数取高的，不是全都要」

出处：算术基本定理

展品

同余式两边随手约分

4 \times 6 \equiv 4 \times 1 (mod 10)

，两边约去

4

，得

6 \equiv 1 (mod 10)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $24 \equiv 4 (mod 10)$ 没错，但 $6 - 1 = 5$ 不是 $10$ 的倍数。 $4$ 和 $10$ 有公因数 $2$ ： $10 ∣ 4 \times 5$ 时， $10$ 的一部分是被 $4$ “吃掉”的。

约去

c

时，模要同时除以

(c, m)

：由

4 \times 6 \equiv 4 \times 1 (mod 10)

只能得到

6 \equiv 1 (mod 5)

。只有

(c, m) = 1

时才能原样约掉。

「加减乘随便做，约分先看互素」

出处：同余的概念与基本性质

展品

负数的余数写成负的

- 3

除以

7

，余数是

- 3

（或者是

3

）。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　余数规定在 $0$ 到 $m - 1$ 之间。 $- 3$ 往回走 $3$ 格，从 $0$ 倒退到刻度 $4$ ；而 $3$ 和 $- 3$ 相差 $6$ ，不是 $7$ 的倍数，根本不在同一列。

- 3 = (- 1) \times 7 + 4

，余数是

4

，即

- 3 \equiv 4 (mod 7)

。

「负数就倒着绕钟面」

出处：同余的概念与基本性质

展品

把指数也按模 m 取余

10 \equiv 3 (mod 7)

，所以

2^{10} \equiv 2^{3} (mod 7)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　同余的数可以在底数的位置上互换，指数不是“被加、被乘的数”，没有这条规则。实际上 $2^{10} = 1024 \equiv 2$ ，而 $2^{3} = 8 \equiv 1$ 。

先找幂的周期：

2^{3} \equiv 1 (mod 7)

，所以指数应当按

3

取余。

10 = 3 \times 3 + 1

，

2^{10} \equiv 2^{1} = 2

。

「底数按 m 约，指数按周期约」

出处：同余的概念与基本性质

展品

凑够 m 个数就当作完全剩余系

2, 4, 6, 8, 10, 12

正好

6

个数，所以是模

6

的完全剩余系。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　它们全是偶数，被 $6$ 除的余数只有 $2, 4, 0$ ，每个出现两次；余 $1, 3, 5$ 的类一个代表也没有。

完全剩余系要

m

个数两两不同余。比如

0, 1, 2, 3, 4, 5

，或者

- 2, - 1, 0, 1, 2, 3

。

「数个数不够，还要看撞没撞车」

出处：剩余系及其应用

展品

不看互素就说“ax 也跑遍”

x

跑遍模

12

的完全剩余系时，

8 x

也跑遍模

12

的完全剩余系。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(8, 12) = 4$ 。 $8 x$ 永远是 $4$ 的倍数，只能落在 $0, 4, 8$ 三个位置，每个位置挤了 $4$ 个。

只有

(a, m) = 1

时，

a x

（以及

a x + b

）才跟着跑遍完全剩余系。模

12

时合格的

a

是

1, 5, 7, 11

。

「乘数与模互素，排队才不乱」

出处：剩余系及其应用

展品

模不是素数，照样套费马小定理

由费马小定理，

2^{14} \equiv 1 (mod 15)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $15 = 3 \times 5$ 不是素数，定理不管它。实际上 $2^{4} = 16 \equiv 1 (mod 15)$ ，所以 $2^{14} = (2^{4})^{3} \times 2^{2} \equiv 4$ 。

先确认模是素数。合数模要么直接找周期（这里是

4

），要么拆成素数模分别处理。

「用定理前先验条件：p 是素数吗」

出处：费马小定理及其应用

展品

底数是 p 的倍数

1 4^{6} \equiv 1 (mod 7)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $7 ∣ 14$ ，所以 $1 4^{6} \equiv 0 (mod 7)$ 。定理要求 $p ∤ a$ ：从 $1$ 出发乘一个 $0$ ，掉进 $0$ 就再也出不来了。

不想检查这个条件时，用另一种写法：

a^{p} \equiv a (mod p)

，它对所有整数

a

成立。

「a 不能是 p 的倍数」

出处：费马小定理及其应用

展品

把定理反过来用

2^{340} \equiv 1 (mod 341)

，所以

341

是素数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $341 = 11 \times 31$ 。碰巧 $2^{10} = 1024 = 3 \times 341 + 1 \equiv 1$ ，于是 $2^{340} \equiv 1$ 。定理说“素数 ⇒ 余 1”，没说“余 1 ⇒ 素数”。

余数不是

1

，可以断定是合数；余数是

1

，什么也不能断定。换个底数：

3^{340} \neq \equiv 1 (mod 341)

。

「定理只管一个方向」

出处：费马小定理及其应用

展品

奇偶对得上，就以为一定做得到

去掉两格以后，黑格和白格一样多，所以一定能用骨牌铺满。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　奇偶（或染色）只是一道安检：过不了的一定不行，过了的未必行。比如去掉的格子把某个角落的一格孤立出来，黑白仍可能一样多，却显然铺不了。

要说明“做得到”，得真的给出一种做法；奇偶分析只负责说明“做不到”。

「奇偶只能否定，不能肯定」

出处：奇数与偶数

展品

以为和与差的奇偶可以不同

x + y

是偶数，而

x - y

是奇数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(x + y) - (x - y) = 2 y$ 是偶数，所以 $x + y$ 与 $x - y$ 的奇偶性永远相同。

两个整数的和与差同奇偶。于是

(x + y) (x - y)

要么是奇数，要么是

4

的倍数，不可能是“只含一个

2

”的数。

「和与差，同奇同偶」

出处：奇数与偶数

展品

余数对得上，就断定是平方数

21

被

4

除余

1

，被

3

除余

0

，都是平方数允许的余数，所以

21

是平方数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“平方数被 $4$ 除余 $0$ 或 $1$ ”是平方数必须满足的条件，不是足够的条件。余 $1$ 的数多得很： $5, 13, 17, 21, \dots$ 都不是平方数。

余数表只能用来否定：余数不对，一定不是平方数。要肯定，得真的找到那个数：

16 < 21 < 25

，夹在相邻两个平方数之间，所以不是。

「余数表是排除法，不是认证书」

出处：完全平方数

展品

乘积是平方数，就说每个因数都是平方数

ab

是完全平方数，所以

a

和

b

都是完全平方数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $2 \times 8 = 16 = 4^{2}$ ，可 $2$ 和 $8$ 都不是平方数。素数 $2$ 的指数是 $1 + 3 = 4$ ：加起来是偶数，各自却是奇数。

多一个条件

(a, b) = 1

才成立：互素时每个素数只出现在一边，指数是偶数就只能是那一边的指数是偶数。

「先互素，再各自是平方」

出处：完全平方数

展品

通解的步长忘了除以最大公因数

6 x + 9 y = 21

有特解

(2, 1)

，所以通解是

x = 2 + 9 t, y = 1 - 6 t

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　这样写出来的确实都是解，但漏掉了三分之二： $(5, - 1)$ 也是解（ $30 - 9 = 21$ ），却不在里面。相邻两个解之间只差 $(3, - 2)$ ，不是 $(9, - 6)$ 。

步长是

(\frac{b}{d}, - \frac{a}{d})

，

d = (a, b) = 3

：

x = 2 + 3 t, y = 1 - 2 t

。

「步子要迈最小的那一步」

出处：一次不定方程（组）

展品

通解里 x 和 y 同时增加

4 x + 7 y = 53

有特解

(1, 7)

，通解是

x = 1 + 7 t, y = 7 + 4 t

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　代入 $t = 1$ ： $4 \times 8 + 7 \times 11 = 109 \neq = 53$ 。 $x$ 增加会让左边变大， $y$ 必须减少来抵消。

x = 1 + 7 t, y = 7 - 4 t

。变化量是

4 \times 7 t - 7 \times 4 t = 0

，一加一减才能抵消。写完代一个

t

验算。

「一个加，一个减」

出处：一次不定方程（组）

展品

拆因数时忘了负因数

(x - 3) (y - 2) = 7

，所以

x - 3 = 1, y - 2 = 7

或

x - 3 = 7, y - 2 = 1

，只有两组整数解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　题目要的是整数解， $7 = (- 1) \times (- 7) = (- 7) \times (- 1)$ 也是合法的拆法，对应 $(2, - 5)$ 和 $(- 4, 1)$ 。

整数解：正负因数都要列，共

4

组。只有题目限定“正整数解”时，才可以根据范围去掉负的。

「整数解，因数带上正负号」

出处：不定方程的常用解法

展品

同余没有矛盾，就说方程有解

模

4

时

x^{2} - 3 y^{2} = 2

两边的余数对得上（

x

、

y

都取奇数），所以方程有整数解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　一个模没查出问题，只说明这个模不够用。换成模 $3$ ：左边 $\equiv x^{2} \in {0, 1}$ ，右边余 $2$ ，立刻矛盾。

同余法只能证明无解。想证明有解，必须真的拿出一组解。

「一个模放行，不等于所有模放行」

出处：不定方程的常用解法

展品

估计出范围，却不逐个检验

由

x^{2} + x y + y^{2} = 19

得

∣ x ∣ \leq 5, ∣ y ∣ \leq 5

，所以解就是这个范围里的整点。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　范围是必要条件：解一定在框里，框里的点却大多不是解。 $121$ 个格子里只有 $12$ 个是解。

得到有限范围之后，老老实实逐个代入（可以利用对称性少算一些）。

「圈出范围只是上半场」

出处：不定方程的常用解法

展品

以为公式能直接给出所有勾股数

每一组勾股数都能写成

(m^{2} - n^{2}, 2 mn, m^{2} + n^{2})

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(9, 12, 15)$ 是勾股数，但 $15$ 写不成两个正整数的平方和（ $1 + 14$ 、 $4 + 11$ 、 $9 + 6$ 都不行），所以它不是公式直接给出的。

公式（配上

m

、

n

互素、一奇一偶）给出全部本原勾股数；其余的都是本原勾股数的整数倍：

(9, 12, 15) = 3 \times (3, 4, 5)

。

「先约成本原的，再套公式」

出处：勾股方程

展品

递降时忘了“正整数”

由一组解

(x, y, z)

总能得到更小的解

(\frac{x}{3}, \frac{y}{3}, \frac{z}{3})

，所以

x^{2} + y^{2} = 3 z^{2}

没有整数解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(0, 0, 0)$ 明明是一组解。 $0$ 除以 $3$ 还是 $0$ ，并没有“变小”，递降在这里停住了，不产生矛盾。

无穷递降否定的是正整数解（或者说不全为零的解）。结论应写成：除

x = y = z = 0

外没有整数解。

「能无限变小的，只有 0」

出处：勾股方程

卷七《组合趣题》展厅

展品

该乘的时候用了加

3

件上衣、

2

条裤子，各选一件，一共有

3 + 2 = 5

种搭配。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　选上衣和选裤子是一步接一步都要做的事：每一件上衣后面都能接 $2$ 条裤子。只有“要么这样、要么那样”的几类才相加。

画一棵树：第一层

3

个分支，每个分支下再分

2

支，末梢有

3 \times 2 = 6

个。

「分步相乘，分类相加——先问自己是“接着”还是“或者”」

出处：计数

展品

握手数了两遍

6

个人两两握手一次。每人要握

5

次，所以一共

6 \times 5 = 30

次。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　甲和乙握手，在“甲的 $5$ 次”里数了一遍，在“乙的 $5$ 次”里又数了一遍。每一次握手都被数了 $2$ 遍。

每次握手恰好被数

2

遍，所以除以

2

：

\frac{6 \times 5}{2} = 15

次。

「数完先问一句：同一个东西被我数了几遍？」

出处：计数

展品

两类有重叠，却直接相加

1 \sim 30

中，

2

的倍数有

15

个，

3

的倍数有

10

个，所以“是

2

或

3

的倍数”的数有

15 + 10 = 25

个。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $6, 12, 18, 24, 30$ 既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数，在两类里各数了一次。加法原理要求各类互不重叠。

把重叠的

5

个减掉一次：

15 + 10 - 5 = 20

个。

「相加之前，先看两类有没有公共部分」

出处：计数

展品

把“至少”说成“恰好”，把“有一个”说成“每一个”

6

个球放进

5

个抽屉，所以有一个抽屉里恰好有

2

个球，其余抽屉各有

1

个。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　抽屉原理只保证存在一个抽屉里至少有 $2$ 个。 $6$ 个球全塞进同一个抽屉也是一种放法——这时一个抽屉有 $6$ 个，四个抽屉是空的。

结论只能说：至少有一个抽屉里至少有

2

个球。是哪个抽屉、到底几个，原理不告诉你。

「抽屉原理只管“存在”和“至少”」

出处：抽屉原理

展品

最不利的情况没算到头

袋子里有红、黄、蓝三种颜色的袜子各很多只。要保证摸出

3

只同色的，需要摸

3 \times 3 = 9

只。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $9$ 只当然够，但题目问的是最少。最倒霉的情况是每种颜色各摸到 $2$ 只（共 $6$ 只，还没有 $3$ 只同色），这时再摸 $1$ 只就一定凑成了。

3 \times 2 + 1 = 7

只。一般地：每个抽屉先装到“差一个就成功”，再加

1

。

「先想最倒霉能倒霉成什么样，然后只加 1」

出处：抽屉原理

展品

抽屉造得太大，同抽屉也说明不了问题

边长为

2

的正方形里有

5

个点。把正方形切成

4

个竖条，必有两点在同一竖条里，所以这两点的距离不超过

2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　同一个竖条里的两点可以一个在顶、一个在底，相距超过 $2$ 。“在同一个抽屉里”必须自动推出你想要的结论，这个抽屉才有用。

切成

2 \times 2

个边长为

1

的小正方形：同一小正方形里的两点，距离最多是它的对角线

2

。

「好抽屉的标准：只要同抽屉，结论就成立」

出处：抽屉原理

展品

“我试了很多次都不行，所以不可能”

缺了对角两格的棋盘，我试了二十多种铺法，每次都剩两格铺不上，所以它铺不满。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　铺法有成千上万种，试过的只是很小一部分。“没找到”和“不存在”是两回事——也许第二十一种就成了呢？

要证明不可能，需要一个对所有铺法都成立的理由：每块骨牌盖一黑一白，而剩下的是

30

白、

32

黑。这句话一次管住了全部铺法。

「举例只能说明“可能”，说明不了“不可能”」

出处：染色

展品

“格子数对得上，就能铺满”

6 \times 6

的棋盘有

36

格，

36 \div 4 = 9

，所以能用

9

条

1 \times 4

的长条铺满。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　格数能整除只是必要条件。把棋盘按斜线染成 $4$ 种颜色，每条长条恰好盖住四种颜色各一格；可是四种颜色的格数是 $9, 10, 9, 8$ ，并不相等。

除了数总格数，还要找一种染色，让每块砖盖住的颜色是固定的，再比较各色格数。

「面积对了，只是过了第一关」

出处：染色

展品

“颜色数相等，就一定能铺满”

5 \times 5

的棋盘挖掉第一行第二格。按斜线染三种颜色，剩下的是

8, 8, 8

，三色相等，所以能用

1 \times 3

的长条铺满。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　染色只能用来证明不可能。颜色数相等只说明“这一种染色没发现矛盾”。把斜线换个方向再染一次，三色是 $9, 8, 7$ ，矛盾就出现了。

要证明能铺满，唯一的办法是真的铺出来。挖掉正中间那格，可以铺成风车形。

「染色是“否决票”：能否决，不能批准」

出处：染色

展品

“不变量对得上，所以一定做得到”

4 \times 4

的方阵里有两个负号，分别在第 1 行第 1 列和第 2 行第 2 列。负号个数是偶数，和目标（

0

个）奇偶相同，所以一定能翻成全正。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　不变量相同只说明“这个不变量没有反对”。换一个不变量：四个角的乘积。每次翻转恰好改变 $0$ 个或 $2$ 个角，所以它也不变；现在是 $- 1$ ，目标是 $+ 1$ 。

不变量只能用来证明做不到。要证明做得到，必须真的给出一串操作。

「不变量是否决票，不是通行证」

出处：操作与游戏

展品

“每次拿最多，就能最快拿到最后一颗”

21

颗石子，每次拿

1 \sim 3

颗，拿到最后一颗的赢。我先手，每次都拿

3

颗，拿得最快，肯定赢。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　你拿 $3$ 剩 $18$ ，对手拿 $2$ 剩 $16$ ——从此你拿 $k$ 颗，对手就拿 $4 - k$ 颗，每一轮共拿走 $4$ 颗， $16, 12, 8, 4, 0$ ，最后一颗归对手。

从终局往回推：剩

0, 4, 8, \dots

颗时轮到谁谁输。先手第一步应该拿

1

颗，留下

20

颗。

「游戏比的不是拿得多，是把对手留在必败位置」

出处：操作与游戏

展品

“照着对手的样子走，就不会输”

一排

9

枚硬币，每次拿

1

枚或相邻的

2

枚。我后手：对手拿左边第几枚，我就拿右边第几枚，永远有得拿。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　对手第一步拿走正中间的第 $5$ 枚——它的镜像是它自己，你没法照镜子。接下来左右各 $4$ 枚，轮到对手来照你的镜子了。

对称策略属于先把局面变对称的人。这个游戏里那是先手：拿走中间，再镜像。

「用对称策略之前，先看对称轴上有没有东西」

出处：操作与游戏

展品

只有上界，没有构造

6 \times 6

的棋盘上放互不相邻的王。每一行最多放

3

个，共

6

行，所以最多能放

3 \times 6 = 18

个。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“不超过 $18$ ”是对的，但没有人摆得出 $18$ 个：上一行放了 $3$ 个，下一行就几乎没地方了。一个达不到的上界不是答案。

把棋盘切成

9

个

2 \times 2

的方块，每块最多

1

个王，上界是

9

；再真的摆出

9

个。两边相等，答案才是

9

。

「上界必须有一个构造接住它」

出处：组合最值

展品

“再也加不进去了”不等于“最多”

我在

5 \times 5

的棋盘上摆了

4

个互不相邻的王（都摆在第 2、第 4 行和第 2、第 4 列的交叉处），发现哪里都加不进第

5

个了，所以最多是

4

个。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　加不进去，只说明这一种摆法到头了。换一种摆法——摆在第 1、3、5 行和第 1、3、5 列的交叉处——可以放 $9$ 个。

“最多”需要一个对所有摆法都成立的论证（比如切块），而不是对自己这一种摆法的观察。

「走进死胡同，不代表已经走得最远」

出处：组合最值

展品

用来论证的“证人”彼此不独立

6 \times 6

的院子，第一行的

6

格每格都要有卫兵看着，所以至少要

6

个卫兵。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　一个卫兵能同时看住同一行里挨着的 $3$ 格。“每格都要有人看”推不出“每格要一个专门的人”。

挑彼此离得足够远的格子当证人：四个角。任何一个卫兵都只能看到其中一个角，所以至少要

4

个卫兵——而

4

个真的够。

「数“至少要几个”时，先确认一个不能顶两个」

出处：组合最值

卷八方法线路展厅

展品

有借无还

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} + 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(x + 3)^{2}$ 展开是 $x^{2} + 6 x + 9$ ，比原来的 $x^{2} + 6 x$ 多出了 $9$ 。补上的角是借来的，没有减回去，式子的值就变了。

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4

。

「添一项，就要减一项」

出处：配方线

展品

首项系数没提干净

2 x^{2} + 8 x = 2 (x^{2} + 4 x) = 2 (x + 2)^{2} - 4

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　括号里补的 $4$ 被外面的 $2$ 放大了： $2 (x + 2)^{2} = 2 x^{2} + 8 x + 8$ ，实际多出来的是 $8$ ，不是 $4$ 。

2 x^{2} + 8 x = 2 [(x + 2)^{2} - 4] = 2 (x + 2)^{2} - 8

。先在括号里借还清楚，再乘出去。

「在括号里借的，在括号里还」

出处：配方线

展品

忘了新元有自己的取值范围

解

x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0

：令

t = x^{2}

，得

t = 9

或

t = - 4

，所以

x = \pm 3

或

x = \pm 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $t$ 不是随便一个数，它是 $x^{2}$ ，所以 $t \geq 0$ 。 $t = - 4$ 意味着 $x^{2} = - 4$ ，没有实数 $x$ 能做到。把 $- 4$ 当成 $4$ 去开方，就凭空多出了两个假的解。

t = - 4

舍去。只有

x^{2} = 9

，即

x = \pm 3

。代回原方程：

81 - 45 - 36 = 0

，成立。

「换元的同时，把新元的范围也换过去」

出处：换元线

展品

停在 t 的世界里没回来

分解

(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8

：令

t = x^{2} + 3 x

，得

(t - 4) (t + 2)

，所以答案是

(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　回代只做了一半。透镜取下来之后，每个因式要在 $x$ 的世界里重新检查： $x^{2} + 3 x - 4$ 和 $x^{2} + 3 x + 2$ 都还能十字相乘。

(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2) = (x + 4) (x - 1) (x + 1) (x + 2)

。

「回代之后，再问一句“还能再分吗”」

出处：换元线

展品

用了韦达定理，却没查判别式

实数

x_{1}, x_{2}

是方程

x^{2} - 2 k x + k + 6 = 0

的两个根。

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (2 k)^{2} - 2 (k + 6) = 4 k^{2} - 2 k - 12

，当

k = \frac{1}{4}

时最小，最小值是

- \frac{49}{4}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　两个实数的平方和不可能是负数——答案自己就在喊“出错了”。 $k = \frac{1}{4}$ 时 $Δ = 4 k^{2} - 4 k - 24 < 0$ ，方程根本没有实数根，“两根之和”“两根之积”成了空头支票。

先保证有根：

Δ = 4 (k - 3) (k + 2) \geq 0

，即

k \leq - 2

或

k \geq 3

。在这个范围里，

4 k^{2} - 2 k - 12

在

k = - 2

时最小，最小值是

16 + 4 - 12 = 8

。

「先有根，再谈根的和与积」

出处：判别式与韦达定理线

展品

忘了它得先是个二次方程

方程

k x^{2} - 4 x + 2 = 0

有两个不相等的实数根，所以

Δ = 16 - 8 k > 0

，得

k < 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $k = 0$ 满足 $k < 2$ ，但这时方程是 $- 4 x + 2 = 0$ ，只有一个根。判别式是二次方程的工具，用之前要先确认二次项系数不是 $0$ 。

k < 2

且

k \neq = 0

。

「先看 a 是不是 0，再算 Δ」

出处：判别式与韦达定理线

展品

系数里带着字母，就直接除过去

解关于

x

的方程

(a^{2} - 4) x = a + 2

：两边除以

a^{2} - 4

，得

x = \frac{a + 2}{a ^{2} - 4} = \frac{1}{a - 2}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　把 $x$ 当主元后， $a^{2} - 4$ 是“系数”。可它里面有字母，有可能恰好是 $0$ ： $a = 2$ 时方程是 $0 \cdot x = 4$ ，无解； $a = - 2$ 时是 $0 \cdot x = 0$ ，任何 $x$ 都是解。除以 $0$ 把这两种情况都弄丢了。

分三种情况：

a \neq = \pm 2

时

x = \frac{1}{a - 2}

；

a = 2

时无解；

a = - 2

时

x

可以是任何数。

「系数带字母，先问它会不会是 0」

出处：主元法线

展品

轮换式也“不妨设 a ≥ b ≥ c”

式子

a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a

中

a, b, c

可以轮换，所以不妨设

a \geq b \geq c

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“不妨设 $a \geq b \geq c$ ”需要任意交换两个字母都不变。这个式子只是轮换不变：取 $(a, b, c) = (1, 2, 3)$ 得 $2 + 12 + 9 = 23$ ，而 $(3, 2, 1)$ 得 $18 + 4 + 3 = 25$ ，交换 $a, c$ 后值变了。大小顺序一共有 $6$ 种，轮换只能把它们归并成 $2$ 类，不是 $1$ 类。

对轮换式只能说“不妨设

a

是三个数中最大的”，然后

b \geq c

和

b < c

两种情况都要讨论。

「对称式才能排全序，轮换式只能指定最大的」

出处：对称性线

展品

放过了头

要证

\frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} < \frac{3}{4}

。因为

\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{( k - 1 ) k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}

，所以左边

< 1 - \frac{1}{n} < 1

，证毕。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　证出来的是“小于 $1$ ”，可题目要的是“小于 $\frac{3}{4}$ ”。 $1$ 比 $\frac{3}{4}$ 大，这个界太松，什么也没说明。问题出在第一项：把 $\frac{1}{4}$ 放大成了 $\frac{1}{2}$ ，一下子就多扔了 $\frac{1}{4}$ 。

第一项不放，从第二项开始放：左边

< \frac{1}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{n}) < \frac{3}{4}

。

「放缩太松，就少放几项」

出处：放缩线

展品

夹不住的小情况没单独看

因为

n^{2} < n^{2} + n + 1 < (n + 1)^{2}

，所以对任何非负整数

n

，

n^{2} + n + 1

都不是完全平方数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　右边的不等式等价于 $n > 0$ 。 $n = 0$ 时 $n^{2} + n + 1 = 1 = (n + 1)^{2}$ ，根本没被夹住——而 $1$ 恰恰是完全平方数。

n \geq 1

时被严格夹在相邻两个平方数之间，不是平方数；

n = 0

单独检查，得到

1 = 1^{2}

。

「不等式从哪里开始成立，就从哪里开始用」

出处：放缩线

展品

底和高没有配对

直角三角形的两条直角边是

6

和

8

，斜边是

10

，所以面积是

\frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　面积公式里的“高”必须垂直于所选的“底”。 $8$ 是直角边，它垂直于另一条直角边 $6$ ，并不垂直于斜边 $10$ 。

以直角边为底：

\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24

。以斜边为底，高是斜边上的高

4.8

：

\frac{1}{2} \times 10 \times 4.8 = 24

。

「选了哪条底，就用垂直于它的那条高」

出处：面积法线

展品

面积比随手写成边的比

D

是

B C

上的任意一点，所以

S_{△ A B D} : S_{△ A C D} = A B : A C

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　以 $A B$ 、 $A C$ 为底时，两条高分别是 $D$ 到 $A B$ 、 $D$ 到 $A C$ 的距离。它们只有在 $D$ 落在 $∠ A$ 的平分线上时才相等。

对任意的

D

：两个三角形共用从

A

引出的高，

S_{△ A B D} : S_{△ A C D} = B D : D C

。只有

A D

是角平分线时，这个比才又等于

A B : A C

。

「面积比等于底的比，前提是高相同」

出处：面积法线

展品

转过去就直接相加

把

△ A D F

绕

A

旋转到

△ A B F^{'}

，所以

E F^{'} = B E + B F^{'}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　只有 $F^{'}$ 、 $B$ 、 $E$ 在同一条直线上，两段才能相加。旋转只保证 $B F^{'} = D F$ ，不保证拼出来是直的。正方形里碰巧是直的，换成一般的四边形就不一定了。

先写一句：

∠ A B F^{'} + ∠ A B E = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

，所以

F^{'}

、

B

、

E

共线。然后再相加。

「拼接之前，先验共线」

出处：平移、旋转与翻折线

展品

两条边不等长，也硬转

△ A B C

中

A B = 5

，

A C = 7

。把

△ A B P

绕

A

旋转，使

A B

落到

A C

上。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　旋转不改变长度。 $A B \neq = A C$ ， $B$ 转过去落不到 $C$ 上，转完的三角形和原图“对不上缝”，什么也得不到。

旋转之前先找共顶点的两条等长线段。它们的公共端点是旋转中心，它们的夹角就是旋转角。

「等线段共顶点，才有旋转」

出处：平移、旋转与翻折线

展品

把“一段”当成“整条边”

D E ∥ B C

，

A D = 3

，

D B = 2

，所以

D E : B C = 3 : 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $△ A D E \sim △ A B C$ 的对应边是 $A D$ 和 $A B$ 。 $D B$ 只是 $A B$ 的一段，不是哪个三角形的边。

A B = A D + D B = 5

，相似比是

A D : A B = 3 : 5

，所以

D E : B C = 3 : 5

。

「对应边要取自两个三角形本身」

出处：构造相似线

展品

面积比忘了平方

两个相似三角形的相似比是

2 : 3

，所以面积比也是

2 : 3

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　面积是“长 × 宽”那样的二维量。底放大到 $\frac{3}{2}$ 倍，高也放大到 $\frac{3}{2}$ 倍，面积放大到 $\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}$ 倍。

面积比

=

相似比的平方

= 4 : 9

。

「长度比一次方，面积比二次方」

出处：构造相似线

展品

没验证共圆就用圆周角

四边形

A B C D

中

∠ A = ∠ C = 8 0^{\circ}

，所以

A

、

B

、

C

、

D

共圆，

∠ A D B = ∠ A C B

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　四点共圆要求对角互补，不是相等。 $8 0^{\circ} + 8 0^{\circ} = 16 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}$ ，这四个点不共圆，圆周角定理根本用不上。

用圆的性质之前，先写出共圆的理由：对角互补；或外角等于内对角；或同侧两点对同一线段张等角。

「先证共圆，再用圆」

出处：利用圆的性质线

展品

弦的两侧不分

P

、

Q

都在圆上，所以它们看弦

A B

的角相等：

∠ A P B = ∠ A QB

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　只有 $P$ 、 $Q$ 在弦 $A B$ 的同一侧（在同一段弧上）时才相等。分在两侧时，两个角对着的是两段不同的弧，合起来是整个圆，所以它们互补。

同侧：

∠ A P B = ∠ A QB

。异侧：

∠ A P B + ∠ A QB = 18 0^{\circ}

。

「同弧才等角，对弧则互补」

出处：利用圆的性质线

展品

两个根全收下

由

x (x + 5) = 36

解得

x = 4

或

x = - 9

，所以

P A = 4

或

P A = 9

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x$ 是线段 $P A$ 的长度，必须是正数。 $- 9$ 是方程的根，但不是这道几何题的解；把负号悄悄去掉更是没有道理。

x = - 9 < 0

，舍去。

P A = 4

。

「方程的根要回到图里验一遍」

出处：用代数方法处理几何线

展品

最值不看 x 的范围

内接长方形的面积是

S = - 1.5 x^{2} + 12 x

，顶点处

S = 24

。题目要求长方形的高不超过

3

，最大面积还是

24

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　顶点在 $x = 4$ ，可是题目只允许 $0 < x \leq 3$ 。顶点不在允许的范围里，就取不到。

在

0 < x \leq 3

上，

S

随

x

增大而增大，最大值在

x = 3

处取到：

S = 3 \times 7.5 = 22.5

。

「先写出 x 能取哪些值，再求最值」

出处：用代数方法处理几何线

展品

和是偶数，就说两个都是偶数

x + y

是偶数，所以

x

、

y

都是偶数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $3 + 5 = 8$ 也是偶数。和为偶数只说明 $x$ 、 $y$ 奇偶相同：要么都偶，要么都奇。漏掉“都是奇数”这一半，后面的讨论就少了一种情况。

x + y

是偶数

⟺

x

、

y

同奇偶。接下来分“都偶”“都奇”两种情况讨论。另外别忘了：

0

是偶数，负数也分奇偶（

- 3

是奇数）。

「偶 = 偶 + 偶，也 = 奇 + 奇」

出处：奇偶分析线

展品

奇偶对上了，就说做得到

x^{2} + y^{2} = 6

：取

x

、

y

都是奇数，左边是偶数，右边也是偶数，奇偶对得上。所以方程有整数解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　奇偶相符只是必要条件。真去试：平方数只有 $0, 1, 4, 9, \dots$ ，两个加起来得不到 $6$ 。其实除以 $8$ 看：两个奇数的平方和余 $2$ ，而 $6$ 余 $6$ 。

奇偶分析只能用来说“做不到”。要说“做得到”，必须给出具体的做法或一组解。奇偶看不出矛盾时，换一个更细的模再试。

「奇偶只能判“不行”，不能判“行”」

出处：奇偶分析线

展品

积是平方数，就说每个都是平方数

ab

是完全平方数，所以

a

、

b

都是完全平方数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $12 \times 27 = 324 = 1 8^{2}$ ，可 $12$ 和 $27$ 都不是平方数。它们共用素因数 $3$ ： $12$ 里有 $1$ 个 $3$ ， $27$ 里有 $3$ 个，合起来 $4$ 个，凑成了偶数。

要先有

g cd (a, b) = 1

。互素时每个素数只属于其中一个数，指数没法互相凑，这时“

ab

是平方数”才推得出“

a

、

b

都是平方数”。

「先查互素，再分平方」

出处：素因数分析线

展品

拆因数时忘了负数和 1

(n - 3) (n - 5)

是素数，所以较小的因数

n - 5 = 1

，

n = 6

。只有这一个答案。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　素数 $p$ 写成两个整数的乘积，除了 $1 \times p$ ，还有 $(- 1) \times (- p)$ 。这里 $n - 3 = - 1$ 时 $n = 2$ ， $(- 1) \times (- 3) = 3$ 也是素数。

整数范围内拆因数，正负都要列：

n - 5 = 1

或

n - 3 = - 1

，得

n = 6

或

n = 2

。

「整数的因数对，正的负的成对出现」

出处：素因数分析线

展品

没有矛盾，就当作有解

x^{2} + y^{2} = 2023

两边除以

3

：左边可以余

0, 1, 2

，右边余

1

，对得上。所以方程有整数解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　一个模没有推出矛盾，只说明这个模不管用。余数对得上，离“真的相等”还差得远。换成模 $4$ ：左边只能余 $0, 1, 2$ ，右边余 $3$ ，立刻矛盾。

要证明无解，找到一个推出矛盾的模就够了；要证明有解，必须真的拿出一组解来。

「模只能判死刑，不能判无罪」

出处：选择合适的模线

展品

同余式两边随手约分

2 x \equiv 2 (mod 4)

，两边约去

2

，得

x \equiv 1 (mod 4)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $x = 3$ 时 $2 x = 6$ ，除以 $4$ 也余 $2$ ，可是 $3$ 除以 $4$ 并不余 $1$ 。约去的 $2$ 和模 $4$ 有公因数，这样约会丢掉解。

约去

2

的同时，模也要除以

g cd (2, 4) = 2

：

x \equiv 1 (mod 2)

，也就是

x

是奇数。

「约去的数要和模互素，否则模也跟着约」

出处：选择合适的模线

展品

不等式只对大数成立，却当成对所有数成立

因为

x^{2} < x^{2} + x + 7 < (x + 1)^{2}

，所以

x^{2} + x + 7

夹在两个相邻平方数之间，不可能是完全平方数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　右边的不等式 $x^{2} + x + 7 < x^{2} + 2 x + 1$ 化简后是 $x > 6$ 。 $x \leq 6$ 时它根本不成立： $x = 1$ 时 $1 + 1 + 7 = 9 = 3^{2}$ ， $x = 6$ 时 $36 + 6 + 7 = 49 = 7^{2}$ ，都是平方数。

先解出不等式成立的范围（

x > 6

），在这个范围内“夹住”；范围以外的

x = 1, 2, \dots, 6

逐个检验。答案恰恰藏在这些小情况里。

「估计管大数，小数要亲手查」

出处：估计线

展品

只夹了一边

k^{2} - 4 k < (k - 2)^{2}

，比一个平方数小，所以

k^{2} - 4 k

不是完全平方数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　比 $(k - 2)^{2}$ 小的平方数多的是： $(k - 3)^{2}$ 、 $(k - 4)^{2}$ ……只有一边的界，什么也排除不了。 $k = 4$ 时 $k^{2} - 4 k = 0 = 0^{2}$ 就是平方数。

要两边都夹，而且两个界必须是相邻的平方数：当

k \geq 5

时

(k - 3)^{2} < k^{2} - 4 k < (k - 2)^{2}

，这才说明它不是平方数。

k \leq 4

另外检验。

「上界下界都要有，而且要相邻」

出处：估计线

展品

进了同一个抽屉，却不是题目要的性质

任取

6

个整数，按除以

5

的余数放进

5

个抽屉，必有两个数同余。所以必有两个数的和是

5

的倍数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　同余的两个数，差是 $5$ 的倍数，和却未必。比如 $1, 6, 11, 16, 21, 26$ 都余 $1$ ，任何两个的和都余 $2$ 。抽屉没造错，结论读错了。

先想清楚“同一个抽屉里的两个”到底满足什么。余数抽屉给出的是：必有两个数的差是

5

的倍数。原来关于“和”的说法本身就是错的，上面那

6

个数就是反例。

「造抽屉之前，先问同屉的两个意味着什么」

出处：抽屉原理线

展品

平均数忘了“再加一”

22

个苹果放进

7

个抽屉，

22 \div 7 = 3

余

1

，所以至少有一个抽屉里有

3

个苹果。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　这句话没说错，但说少了。如果每个抽屉都不超过 $3$ 个，总共最多 $21$ 个，放不下 $22$ 个。所以能保证的是 $4$ 个。

用反证法数一数：假设每个抽屉至多

3

个，则至多

7 \times 3 = 21 < 22

。所以至少有一个抽屉里有 $4$ 个。有余数时，商要加

1

。

「假设每屉都不够多，看总数装不装得下」

出处：抽屉原理线

展品

颜色数对上了，就以为能铺

8×8 棋盘挖掉第 1 行第 2 格，用三色斜条染色，剩下 A、B、C 各 21 格。每条 1×3 长条正好盖 A、B、C 各一格，所以 21 条长条一定能铺满。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　染色只能说“不行”，不能说“行”。颜色数相等只是必要条件：数目不对一定铺不成，数目对了也未必铺得成。事实上换一个方向再染一次三色斜条，这一格就露馅了——这块棋盘是铺不满的。

要证明“能”，必须真的铺出来（给出构造）。染色用来证明“不能”；“能”要靠动手。

「染色只会说不，说“能”要拿出铺法」

出处：染色与赋值线

展品

染色和牌不搭

8×8 棋盘挖掉一个角，能不能用 1×3 长条铺满？黑白相间染一下：剩黑 31、白 32，差不多，看不出矛盾，所以大概能铺。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　黑白相间是为 1×2 骨牌量身定做的：每块骨牌恰好一黑一白。1×3 长条盖住的可能是两黑一白，也可能是两白一黑，这种染色对它不固定，自然什么也看不出。

选染色时先问：每块牌盖住各种颜色的个数是不是固定的？ 对 1×3 长条，要用三种颜色斜着染，让每条长条恰好盖住三色各一格。

「先看牌的形状，再定怎么染」

出处：染色与赋值线

展品

没看是不是零就除过去

解关于

x

的方程

(m - 1) x = m - 1

：两边同除以

m - 1

，得

x = 1

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　当 $m = 1$ 时， $m - 1 = 0$ ，不能做除数。这时方程是 $0 \cdot x = 0$ ，任何数都是解，不只是 $x = 1$ 。

先分类：

m \neq = 1

时，

x = 1

；

m = 1

时，

x

可以是任意数。凡是要除以含字母的式子，先问它会不会等于

0

。

「除以字母之前，先问它是不是零」

出处：分类与枚举线

展品

分完类，忘了每一类自己的“门槛”

周长为

12

的等腰三角形，三边都是整数。按腰长分类：腰可以是

1, 2, 3, 4, 5

，所以共有

5

个。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　每一类都要过两道门槛。底边 $12 - 2 a$ 要是正数，所以腰 $a \leq 5$ ；两腰之和要大于底边， $2 a > 12 - 2 a$ ，所以 $a > 3$ 。腰为 $1, 2, 3$ 时根本围不成三角形（比如 $3, 3, 6$ ）。

腰只能是

4

或

5

：

(4, 4, 4)

和

(5, 5, 2)

，共

2

个。分类只是把题目切开，每一块里的条件还得逐条检查。

「每一类算完，回头对一遍这一类的条件」

出处：分类与枚举线

展品

验了很多项，就当证明了

n^{2} + n + 41

在

n = 0, 1, 2, \dots, 10

时都是素数（

41, 43, 47, 53, \dots, 151

），所以它对一切自然数

n

都是素数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　验算再多也只是有限项。事实上它一直到 $n = 39$ 都是素数，可是 $n = 40$ 时 $4 0^{2} + 40 + 41 = 1681 = 4 1^{2}$ ，不是素数。没有“从 $n$ 推到 $n + 1$ ”这一步，规律随时可能断。

归纳法要两条腿：① 起点成立；② 假设第

k

个成立，推出第

k + 1

个成立。小数据只用来猜，递推关系才用来证。

「验算是猜，递推才是证」

出处：递推与归纳线

展品

递推式对了，起点错了

2×n 长条的铺法满足

f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)

，这是斐波那契数列

1, 1, 2, 3, 5, 8

，所以 2×6 的长条有

8

种铺法。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　递推式只说“后一项怎样由前两项得到”，不告诉你从哪里开始。这里 $f (1) = 1$ ， $f (2) = 2$ （两块都竖，或两块都横），不是 $1, 1$ 。

先亲手数出起点：

f (1) = 1, f (2) = 2

。再递推：

3, 5, 8, 13

。所以

f (6) = 13

。用到前两项的递推，就要两个起点。

「递推用到前几项，就要数清几个起点」

出处：递推与归纳线

展品

取了一个并不存在的“最小”

在所有正分数里，取最小的那一个，记作

q

……

错在哪里？先想一想，再打开

病因　正分数里没有最小的：不管 $q$ 多小， $\frac{q}{2}$ 还是正分数，而且更小。对一个不存在的东西推理，推出什么都不算数。

先问一句“最小的存在吗？”。有限个数里一定有最大和最小；一堆正整数（哪怕无限多个）里一定有最小的。除此之外，要先证明它存在。

「先确认“最”存在，再取“最”」

出处：极端原理线

展品

以为最大的只有一个

设

a

是圆圈上最大的数，那么它的两个邻居都比它小，所以……

错在哪里？先想一想，再打开

病因　最大的数可以有好几个并列。邻居只是不比它大，完全可能和它相等——圆圈那道题的结论恰恰就是“全都相等”。

写“

\leq

”，不要写“

<

”：邻居

\leq a

，所以平均数

\leq a

，等号成立只能是两个邻居都等于

a

。

「最大的不一定唯一」

出处：极端原理线

展品

算两次，数的却不是同一个东西

5

个人，每人和别人握了

3

次手，所以一共握了

5 \times 3 = 15

次手。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　每一次握手有两个人参加，在“每人握了几次”里被数了两遍。 $15$ 是“人次”，不是握手的次数。真正的次数应当是 $15 \div 2$ ——不是整数！

先说清每个东西被数了几遍：握手次数

\times 2 =

每个人握手次数的总和。所以总和必须是偶数，“

5

个人每人握

3

次”根本不可能发生。

「算两次之前，先问每样东西被数了几遍」

出处：从局部到整体线

展品

特殊情形成立，就当作证完了

当

P

在弧

B C

的中点时

P A = P B + P C

，所以对弧上任意一点

P

都有

P A = P B + P C

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　只检查了一个位置。特殊位置上成立的事，换个位置完全可能不成立——比如“高和中线重合”在等腰三角形里对，在一般三角形里就不对。

特殊化的作用是找到该证什么。找到以后，要对一般位置的

P

写出证明（这里用托勒密定理，或者在

P A

上截取

P D = P B

）。

「特殊值用来找答案，不能用来当证明」

出处：一般化与特殊化线

展品

特殊得过了头

要确定

a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b) = k (a - b) (b - c) (c - a)

里的

k

，取

a = b = 1

，

c = 0

：两边都是

0

，所以

k

取什么都行。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　这组值让两边同时变成 $0$ ， $0 = k \cdot 0$ 对任何 $k$ 都成立，什么信息也没有得到。

取一组让两边都不为 $0$ 的值，比如

a = 0, b = 1, c = 2

：左边是

- 2

，右边是

2 k

，所以

k = - 1

。

「要特殊，但别特殊到两边都是 0」

出处：一般化与特殊化线

展品

前几项都对，就当成永远对

圆周上取

n

个点，两两连弦，圆被分成的块数依次是

1, 2, 4, 8, 16

，所以公式是

2^{n - 1}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　亲手数一数 $n = 6$ ：是 $31$ 块，不是 $32$ 块。五个例子全对，第六个就错了。例子只能帮你猜，不能替你证。

猜想写出来以后只有两条路：给出证明，或者找到反例。这里真正的块数是

1 + \frac{n ( n - 1 )}{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}{24}

，它在

n \leq 5

时恰好和

2^{n - 1}

相等。

「例子再多，也不是证明」

出处：先猜后证线

展品

四十个例子也不够

n^{2} + n + 41

在

n = 0, 1, 2, \dots, 39

时全是素数，所以它永远是素数。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $n = 40$ 时， $4 0^{2} + 40 + 41 = 40 \times 41 + 41 = 4 1^{2}$ ，是合数。其实不用算也看得出： $n = 41$ 时三项都是 $41$ 的倍数。

“永远成立”的结论，必须对一般的

n

讲出道理。讲不出道理的时候，就认真去找反例。

「猜想要么被证明，要么被反例推翻」

出处：先猜后证线

错误博物馆

卷一 《因式分解技巧》展厅

卷二 《方程与方程组》展厅

卷三 《一次函数与二次函数》展厅

卷四 《三角形与四边形》展厅

卷五 《圆》展厅

卷六 《整除、同余与不定方程》展厅

卷一《因式分解技巧》展厅

卷二《方程与方程组》展厅

卷三《一次函数与二次函数》展厅

卷四《三角形与四边形》展厅

卷五《圆》展厅

卷六《整除、同余与不定方程》展厅