看 a 与 1

观察

第一个式子 $(a + 1)^{2} = a^{2} + 2 a + 1$ ：把 $3$ 、 $- 2$ 、 $\frac{1}{2}$ 一个个放进去，再放进 $x + 1$ 和 $2 x$ 。有没有哪一次不成立？
换成 $2 a + 1 = 7$ 。七种填法里，有几种能让它成立？
换成 $a^{2} = a$ 。这回成立的有哪几个数？
换成 $\frac{a}{a} = 1$ ，放进 $0$ 。机器说了什么？
最后一个 $a + 1 = a$ ：你能找到让它成立的东西吗？每个式子都试满三种之后，点“它到底什么时候成立？”，看看你的判断对不对。

五个式子长得差不多，脾气却完全不同。不管放什么都成立的叫恒等式，它说的是运算本身的规律。只对个别数成立的叫方程，那几个数叫方程的解。这一卷书做的事，就是把这些数找出来。

先猜后证

$a$ 是一个数。 $- a$ 一定是负数吗？

一定是负数不一定一定不是负数

先选定答案，才能看到结论。

为什么第一个式子怎么填都对？因为它是用运算律一步步推出来的，而运算律对每一个数都成立。

第 1 / 6 步

放一个数
空位里放 $3$ ：左边是 $4^{2} = 16$ ，右边是 $9 + 6 + 1 = 16$ 。相等。

$(3 + 1)^{2} = 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1$
放一个负数
放一个式子
原因：只用了运算律
对比：一个方程
换一个数就不行

很多地方都藏着一个没写出来的 $1$ ：

a = 1 \cdot a = a^{1} = \frac{a}{1}, - a = (- 1) \cdot a

合并同类项、提公因式的时候，要把它请出来：

反过来， $a$ 也可以当成一个整体来看。上面的恒等式里，把 $a$ 换成 $x + 1$ 、换成 $2 x$ ，甚至换成更长的式子，它照样成立。以后解方程常用这一招：把一大块东西看成一个字母。

Break it

结论： $\frac{a}{a} = 1$

只放不是 $0$ 的数和式子，每一种都成立。

练习 1基础

当 $a = - 3$ 时，求 $a^{2} - 2 a + 1$ 的值。

练习 2基础

合并同类项： $5 x - x + 2 x$ 。

练习 3提高

哪些数 $a$ 能使 $a^{2} = 2 a$ 成立？（把所有的数都写出来。）

练习 4挑战

先验证 $(a + 2)^{2} - (a - 2)^{2} = 8 a$ 是恒等式，再用它口算 $100 2^{2} - 99 8^{2}$ 。