一句话
两个方向相反的动作，常常配合着用：
- 特殊化：一般的情形看不清，就先看最特殊的——最小的 、最对称的位置、最简单的数。它会告诉你答案大概是什么，该往哪里证。
- 一般化：具体的数又大又乱，就把它换成字母。数字的“个性”消失了，结构反而露出来。
特殊化找到的只是猜想；证明，还是要对一般情形去做。
先猜后证
正三角形 内接于一个圆，点 在不含 的弧 上。当 恰好是这段弧的中点时， 是 的几倍？
倍
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
这时 是直径， 都等于半径，所以 ，也就是 。这个关系只在中点成立吗？
第 1 站 · 特殊位置先探路（卷五）
例：PA、PB、PC 之间有什么关系
第 1 / 5 步- 最对称的位置
把 放到弧的中点。 成了直径， 半径。于是 。
反过来，把一般的定理特殊化，也常常得到熟悉的老朋友。把托勒密定理用在矩形上：对角线都是 ，两组对边是 和 ，于是 ——这就是勾股定理。
第 2 站 · 把数换成字母（卷二）
计算 。硬算要做两次七位数的乘法。
例：2023² − 2022 × 2024
第 1 / 4 步- 特殊化：先试小的
把 换成小一点的数：，，。
第 3 站 · 代特殊值，找因式、定系数（卷一）
分解 。全部展开有六项，看不出头绪。让字母取特殊值试试。
例：分解 a²(b−c) + b²(c−a) + c²(a−b)
第 1 / 5 步- 特殊化：令 a = b
把 换成 ：前两项正好抵消，第三项是 。式子变成 ，说明 是它的一个因式。
第 4 站 · 从小棋盘数起（卷七）
的棋盘里一共有多少个正方形（各种大小都算）？直接数会数花眼。
例：棋盘里的正方形
第 1 / 4 步- 特殊化：最小的棋盘
的棋盘： 个。 的棋盘： 个小的加 个大的，共 个。
练一练
计算：。
提示 · 方向
四个数都挤在 附近。
提示 · 方法
设 ，把四个数都用 表示。
提示 · 第一步
原式 。
完整解答
。和 是多少无关。
已知对所有的 都有 。求 。
提示 · 方向
不必把左边展开。等式对所有 成立，那就挑一个最合适的 。
提示 · 方法
要让右边变成 ， 应该取几？
提示 · 第一步
取 ：右边 。
完整解答
左边 ，所以 。
的方格棋盘里，一共有多少个长方形（正方形也算长方形）？
提示 · 方向
先数小棋盘： 有 个， 有 个， 有 个。 像什么？
提示 · 方法
，而 是 。猜： 的棋盘里有 个。为什么？
提示 · 第一步
一个长方形由“上下两条横线”和“左右两条竖线”决定。 的棋盘有 条横线，从中选 条有 种选法。
完整解答
竖线同样有 种选法，所以共 个。