轮换式与对称式

观察

点“轮换”： $a$ 换成 $b$ ， $b$ 换成 $c$ ， $c$ 换成 $a$ 。式子的写法变了，但展开整理后和原来一模一样。这样的式子叫轮换式。
复原，再点“对换 a↔b”：这次每一项都变成了相反数。所以它不是对称式。（任意两个字母对换都不变的，才叫对称式。）
点“试 $a - b$ ”：让 $a = b$ ，整个式子变成 $0$ 。这说明 $(a - b)$ 是它的因式。
既然轮换后式子不变， $(a - b)$ 轮换出来的 $(b - c)$ 、 $(c - a)$ 也一定是因式。原式是 $3$ 次，三个一次因式乘起来也是 $3$ 次，所以只差一个常数——操作台算出来是 $- 1$ 。

a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b) = - (a - b) (b - c) (c - a)

这就是对称性的用处：试出一个因式，其余的不用试，转一下就有了。

先猜后证

$a + b + c$ 、 $ab + b c + c a$ 、 $a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a$ 这三个式子里，有几个是对称式？

1

个

2

个

3

个

先选定答案，才能看到结论。

为什么“令 $a = b$ 得 $0$ ”就说明有因式 $(a - b)$ ？把式子看成只关于 $a$ 的多项式， $b$ 、 $c$ 当作数——这正是第 8 站的因式定理：把 $a = b$ 代进去得 $0$ ，所以 $(a - b)$ 是因式。

第 1 / 5 步

先看对称性
对换 $a$ 、 $b$ ：式子不变。换别的两个字母也一样。这是一个对称式。

$b^{3} + a^{3} + c^{3} - 3 ba c$
轮换当然也不变
试 a − b
试 a + b + c
商也是对称的

对称式分解的套路：**对称式的因式，凑在一起也得对称。**所以候选很少——先试 $(a - b)$ 一类，再试 $(a + b)$ 一类，再试 $(a + b + c)$ ；定下因式后数次数，剩下的系数代一组数就能求出来。

Break it

结论： $(a - b)$ 是因式 $\Rightarrow$ $(b - c)$ 、 $(c - a)$ 也是因式

$a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)$ 是轮换式。试出 $(a - b)$ ，另外两个自动跟着来。

练习 1基础

把 $(a - b) (b - c) (c - a)$ 中的 $a$ 和 $b$ 对换，得到的式子是原式的多少倍？

练习 2提高

分解因式： $ab (a + b) + b c (b + c) + c a (c + a) + 2 ab c$ 。

练习 3提高

分解因式： $ab (a - b) + b c (b - c) + c a (c - a)$ 。

练习 4挑战

分解因式： $a^{3} (b - c) + b^{3} (c - a) + c^{3} (a - b)$ 。