待定系数法 · 看得见的小蓝本

这一招在做什么

四次式 $x^{4} + 2 x^{2} + x + 2$ 。上一站的筛子告诉我们它没有有理根（候选 $\pm 1, \pm 2$ 都不是），所以没有一次因式。可它还可能是两个二次式的积：

x^{4} + 2 x^{2} + x + 2 = ? (x^{2} + a x + b) (x^{2} + c x + d)

系数还不知道，先用字母占着位置（待定），然后让等式自己告诉我们它们是多少。

定形状：根据次数和首项系数，写出因式的样子，未知系数用字母表示。
乘开，逐项比较：两个多项式相等，每一项的系数都相等。每个系数给出一个方程。
解方程组（通常先从常数项的整数拆法试起），然后把所有方程都验一遍。

先猜后证

$x^{4} + 2 x^{2} + x + 2$ 有没有有理系数的一次因式？

有没有

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：分解 x⁴ + 2x² + x + 2

第 1 / 6 步

设出形状
首项系数是 $1$ ，所以两个二次式的首项系数都取 $1$ 。四个字母待定，四盏灯对应四个方程。

$(x^{2} + a x + b) (x^{2} + c x + d)$
从常数项下手
三次项
一次项
还剩一个方程
写出结果

待定系数法也能用来求参数。比如已知 $x^{3} + 4 x^{2} + m x - 6$ 能被 $x^{2} + x - 2$ 整除：设商是 $x + k$ ，乘开 $(x^{2} + x - 2) (x + k) = x^{3} + (k + 1) x^{2} + (k - 2) x - 2 k$ ，比较得 $k + 1 = 4$ 、 $- 2 k = - 6$ ，都给出 $k = 3$ ，于是 $m = k - 2 = 1$ 。第 6 站双十字相乘里的 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ ，用的也是同一个想法。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：能按设定的形状分解

$x^{4} + 2 x^{2} + x + 2$ 设成 $(x^{2} + a x + 1) (x^{2} + c x + 2)$ ：方程组有解。

练一练

练习 1基础

已知 $(x + a) (x^{2} + 2 x + 3) = x^{3} + 5 x^{2} + 9 x + 9$ ，求 $a$ 。

练习 2提高

已知 $x^{3} + 4 x^{2} + m x - 6$ 能被 $x^{2} + x - 2$ 整除，求 $m$ 。

练习 3提高

分解因式： $x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + x + 1$ 。

练习 4挑战

分解因式： $x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + 5$ 。

错误博物馆 · 本站展品

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方程没用完

设

x^{4} + 2 x^{2} + x + 2 = (x^{2} + a x - 1) (x^{2} + c x - 2)

。由

a + c = 0

、

- 2 a - c = 1

解得

a = - 1

、

c = 1

，所以分解成

(x^{2} - x - 1) (x^{2} + x - 2)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　还有一个方程没有检查： $x^{2}$ 的系数 $a c - 3$ 应该等于 $2$ ，可是 $(- 1) (1) - 3 = - 4$ 。方程的个数比未知数多，每一个都得成立。

这组常数项（

- 1

和

- 2

）行不通，换成

1

和

2

：

a = 1

、

c = - 1

，三个方程全部成立，得

(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 2)

。

「解出来以后，把没用过的方程也代一遍」

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常数项只想到正因数

x^{4} - 3 x^{2} + 1

的常数项是

1

，只能设成

(x^{2} + a x + 1) (x^{2} + c x + 1)

；解不出整数，所以不能分解。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $1 = (- 1) \times (- 1)$ 也是一种拆法。设成 $(x^{2} + a x - 1) (x^{2} + c x - 1)$ ： $a + c = 0$ ， $a c - 2 = - 3$ ，得 $a = 1$ 、 $c = - 1$ 。

x^{4} - 3 x^{2} + 1 = (x^{2} + x - 1) (x^{2} - x - 1)

。列形状时，正负两种拆法都要考虑。

「拆常数项，别忘了负负得正」