多项式的一次因式

观察

这里有两条定理在起作用：

所以“找一次因式”变成了“找根”。操作台上的表格叫综合除法：它一边算 $f (c)$ ，一边顺手把商也算出来了。

先猜后证

不做除法： $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ 除以 $x - 2$ ，余数是多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么值得试的有理数只有那么几个？设既约分数 $\frac{p}{q}$ 是整系数多项式 $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 的根。代入后两边乘 $q^{n}$ ：

a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} q + \dots + a_{1} p q^{n - 1} + a_{0} q^{n} = 0.

除了最后一项，每一项都含有 $p$ ，所以 $p$ 整除 $a_{0} q^{n}$ ；而 $p$ 与 $q$ 互素，于是 $p ∣ a_{0}$ 。同理，除了第一项每一项都含有 $q$ ，于是 $q ∣ a_{n}$ 。

第 1 / 7 步

列候选
分子 $p$ 取常数项 $2$ 的因数： $1, 2$ ；分母 $q$ 取首项系数 $2$ 的因数： $1, 2$ 。候选是 $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ ，一共 $6$ 个。

$\pm \frac{p}{q} : \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$
试 1
试 −1：先落下首项系数
乘一次，加一次
余数是 0
别漏了分数
收尾

Break it

结论：它一定在候选名单 $\pm \frac{p}{q}$ 里

$x^{3} - 7 x + 6$ 的三个根都是有理数，都在名单里。把它们筛出来。

练习 1基础

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ 除以 $x - 1$ ，余数是多少？

练习 2基础

求 $x^{3} - 7 x + 6$ 的全部有理根。（用逗号隔开。）

练习 3提高

分解因式： $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ 。

练习 4挑战

分解因式： $2 x^{3} + x^{2} - 7 x - 6$ 。