一句话
很多题目不告诉你答案是什么。那就自己动手：
算几个小的 → 看出规律 → 写成猜想 → 证明它。
猜，给你方向；证，才让它成为答案。只猜不证会翻车，只证不猜又无从下手——两步缺一不可。
先猜后证
等于多少？先别硬加，看看上面的表，猜一个。
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
这是前 个奇数的和，等于 。为什么奇数加起来总是平方数？下面一步一步看。
例：前 n 个奇数的和
第 1 / 4 步- 先算小的
；；。亲手算，不要跳。
第 1 站 · 从表格猜出一次函数（卷三）
用火柴棒摆一排相连的小正方形。摆 个要几根？
例：n 个正方形要几根火柴
第 1 / 4 步- 数小的
个正方形 根， 个 根， 个 根。
第 2 站 · 猜一个根，再除一除（卷一）
三次多项式没有现成的十字相乘。但可以先猜一个根。
先猜后证
。下面哪个数是它的根？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
，，都不是。，猜中了。
例：分解 x³ − 4x² + x + 6
第 1 / 4 步- 先圈定候选
如果整数 是根，那么 ，所以 一定整除 。候选只有 。
第 3 站 · 乘方表里的规律（卷六）
这一站的猜想，第一次猜会猜错——修正之后，才是一个著名的定理。
例：n 的 (m − 1) 次方除以 m 余几
第 1 / 5 步- 模 5：看 n⁴ 那一列
除了第 行， 那一列全是 。
第 4 站 · 取石子（卷七）
游戏题最适合先猜后证：小的局面可以亲手玩出来。
例：每次取 1～3 颗，取到最后一颗的人赢
第 1 / 4 步- 最小的几堆
、、 颗：先手一把取完，赢。 颗：不管先手取几颗，剩下的 ～ 颗都被对手一把取完，输。
猜了，一定要证
先猜后证
圆周上取 个点，两两连弦（任何三条弦不在圆内交于同一点）。 时，圆被分成 块。那么 时是几块？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 大多数人都猜 32——所以这道题才出名。
是 块。每条弦、每个圆内交点都会多切出一块：块数 弦数 交点数。 个点有 条弦、 个交点，所以是 。
再来一个更狠的：下面这个式子一连几十项都是素数。
练一练
凸四边形有 条对角线，凸五边形有 条，凸六边形有 条。先猜出凸 边形对角线条数的公式并说明理由，再回答：凸十二边形有多少条对角线？
提示 · 方向
从一个顶点出发，能连几条对角线？哪几个顶点连不了？
提示 · 方法
每个顶点不能连自己和两个邻居，所以能连 条。 个顶点一共 条——但每条被数了几次？
提示 · 第一步
每条对角线有两个端点，被数了两次，所以公式是 。用 检验：。
完整解答
时， 条。
记 。先算 ，猜出 的公式并证明，再写出 。（答案写成分数，如 3/4。）
提示 · 方向
， 把它们都化成最简分数。
提示 · 方法
。猜 。证明要用到“拆项”。
提示 · 第一步
。把每一项都这样拆开，中间的项会怎样？
完整解答
，所以 。
一堆石子有 颗，两人轮流取，每次可以取 、、 或 颗，取到最后一颗的人赢。先手想必胜，第一步应该取几颗？
提示 · 方向
先玩小的： 到 颗，哪些是先手必败？
提示 · 方法
必败的是 、……猜： 的倍数必败。证明的两句话和第 4 站一模一样，只是把 换成 。
提示 · 第一步
先手要把“ 的倍数”丢给对手。 除以 余几？
完整解答
。先手取 颗，剩 颗；以后对手取 颗，自己就取 颗，始终把 的倍数留给对手。