一次函数的图象与性质

观察

只拖 $b$ ，让 $k$ 不动。直线的倾斜程度变了吗？它在做什么运动？
只拖 $k$ ，让 $b$ 不动。直线绕着哪个点转？这个点的坐标和 $b$ 有什么关系？
看直线旁边的虚线小三角形：向右走 $1$ 格，直线上升（或下降）了多少？把 $k$ 调成 $2$ 、 $- 1$ 、 $0.5$ 各看一次。
把 $k$ 调成正数、 $b$ 调成负数。直线不经过哪个象限？再试试其余三种符号搭配，把结果记下来。

你刚才看到的，就是一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq = 0$ ）的全部性格：

y = k x + b

$k$ 叫斜率： $x$ 每增加 $1$ ， $y$ 就变化 $k$ 。 $k > 0$ 时直线上升， $k < 0$ 时直线下降。
$b$ 叫截距：直线与 $y$ 轴交在 $(0, b)$ 。改变 $b$ ，直线上下平移。

先猜后证

不画图，只看符号：直线 $y = - 2 x + 3$ 不经过第几象限？

第一象限第二象限第三象限第四象限

先选定答案，才能看到结论。

为什么：从 k、b 读出象限

不用背口诀。直线只有两种“走向”和三种“起点高度”，一步一步看就行。

例：y = 2x − 3 经过哪几个象限？

第 1 / 4 步

先看最简单的：b = 0
$y = 2 x$ 过原点。 $k = 2 > 0$ ，向右上方走，所以只经过第一、第三象限。

$y = 2 x$
加上 b：整条线平移
找到它穿过 x 轴的地方
读出象限

规律可以浓缩成两句话： $k$ 的符号决定经过一、三还是二、四； $b$ 的符号决定多蹭到上面两个还是下面两个象限中的哪一个。

两点确定一条直线

$y = k x + b$ 里有两个未知的数 $k$ 、 $b$ ，所以知道直线上的两个点就够了。这种“先设出式子，再用条件定出系数”的办法叫待定系数法。

例：求过 (−1, 4) 和 (2, −2) 的直线

第 1 / 4 步

设出式子
设直线是 $y = k x + b$ 。图上先随便放一条线：两个圈都是 ✗。

$y = k x + b$
先定 k：看两点之间怎么走
再定 b：代入一个点
用另一个点检验

一题多解

一条直线经过 $(1, 3)$ 和 $(4, 9)$ ，求它的解析式。

列方程组

设 $y = k x + b$ ，把两个点代入：

{k + b = 3 4 k + b = 9

两式相减得 $3 k = 6$ ， $k = 2$ ；代回得 $b = 1$ 。所以 $y = 2 x + 1$ 。

代价稳，适合任何两个点；要解一个二元一次方程组。

先看斜率

从 $(1, 3)$ 到 $(4, 9)$ ：向右 $3$ ，上升 $6$ ，所以 $k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ 。

从 $(1, 3)$ 往左退 $1$ 格到 $y$ 轴，高度降 $2$ ，得 $b = 3 - 2 = 1$ 。所以 $y = 2 x + 1$ 。

代价快，而且能在图上看见；要记得“纵坐标之差 ÷ 横坐标之差”的顺序别弄反。

两条直线相遇

两条直线的交点同时在两条线上，所以它的坐标同时满足两个式子——交点坐标就是方程组的解。

虚线是

y = - x + 4

。拖动实线：交点的读数就是方程组的解。把

k

调成

- 1

会怎样？

当两条直线的 $k$ 相等而 $b$ 不相等时，它们平行，永不相遇：对应的方程组无解。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：直线 $y = k x + b$ 与 $x$ 轴恰好有一个交点

只要 $k \neq = 0$ ，方程 $k x + b = 0$ 总有唯一的解 $x = - \frac{b}{k}$ 。随便怎么拖，“与 $x$ 轴的交点”总有一个读数。

练一练

练习 1基础

直线 $y = 3 x - 6$ 与 $x$ 轴交点的横坐标是多少？

练习 2基础

一条直线经过 $(- 2, 7)$ 和 $(3, - 3)$ 。写出 $y =$ 后面的式子。

练习 3提高

直线 $y = 2 x + 4$ 与两条坐标轴围成一个三角形。它的面积是多少？

练习 4提高

已知 $y = (m - 3) x^{∣ m ∣ - 2} + m + 1$ 是一次函数，求 $m$ 。

练习 5挑战

不论 $k$ 取什么值，直线 $y = k x + 2 k + 1$ 总经过同一个点。这个点的横坐标和纵坐标分别是多少？（两个数用逗号隔开。）

观察

为什么：从 k、b 读出象限

例：y = 2x − 3 经过哪几个象限？

两点确定一条直线

例：求过 (−1, 4) 和 (2, −2) 的直线

列方程组

先看斜率

两条直线相遇

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

只看指数，忘了 k ≠ 0

把截距当成距离