观察
- 只拖 c。抛物线的形状变了吗？图上哪个点一直跟着 c 走？
- 只拖 a：从 2 到 0.5，再到 −1。开口的方向和“胖瘦”怎么变？a 恰好等于 0 时发生了什么？
- 只拖 b，盯着顶点。它走的是一条什么样的路线？对称轴在 y 轴左边时，a 和 b 的符号有什么关系？
- 找一组 a、b、c，让判别式 Δ 恰好等于 0。这时图象和 x 轴是什么关系？
- 图上两个菱形点在 x=1 和 x=−1 的位置。它们的高度为什么正好是 a+b+c 和 a−b+c？
先猜后证
一条抛物线 y=ax2+bx+c：开口向下，对称轴在 y 轴右边，与 y 轴交在原点上方。a、b、c 三个数里有几个是正数？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
开口向下：a<0。与 y 轴交在原点上方：c>0。
对称轴 x=−2ab 在右边，说明 −2ab>0，a 与 b 异号，所以 b>0。
正数有两个：b 和 c。
这是其中一条这样的抛物线。把 b 拖成负数，对称轴跑到哪边去了？为什么：配方把顶点找出来
所有二次函数的图象都和 y=ax2 一样“胖瘦”，只是被挪了位置。挪到哪里？配方告诉我们。
例：y = 2x² − 4x − 1 的顶点在哪里？
第 1 / 5 步 -
从最简单的开始 y=2x2：顶点在原点，对称轴是 y 轴。我们要看 y=2x2−4x−1 和它差在哪里。
y=2x2
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把二次项系数提出来
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括号里配方
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把多出来的拿到括号外
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读出顶点和对称轴
对一般的 y=ax2+bx+c 做同样的事，得到
y=a(x+2ab)2+4a4ac−b2,对称轴 x=−2ab.
公式不必硬背，会配方就能随时推出来。
六个符号，六个看点
考试里常给一张图，问一串式子的正负。每个式子都有图上的“看点”。
读图：y = x² + 3x + 1
第 1 / 6 步 -
a：看开口 开口向上，所以 a>0。∣a∣ 越大，开口越窄。
a>0
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c：看与 y 轴的交点
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b：看对称轴在哪一边
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Δ：看与 x 轴有几个交点
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a + b + c：看 x = 1 处的点
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a − b + c：看 x = −1 处的点
同样的想法还能读出更多：4a+2b+c 是 x=2 处的函数值，2a+b 的符号只要比较对称轴和 x=1 的位置。见到系数的组合，先想“它是哪个 x 的函数值”。
一题多解
求抛物线 y=x2−6x+5 的顶点。
配方
y=x2−6x+9−9+5=(x−3)2−4。顶点 (3,−4)。
代价总能用；要小心符号。
利用对称性
x2−6x+5=(x−1)(x−5)，图象与 x 轴交于 x=1 和 x=5。
对称轴在两个交点的正中间：x=21+5=3。
再代入：y=9−18+5=−4。顶点 (3,−4)。
代价最省力，但要求两个交点好求。
套公式
x=−2ab=−2−6=3，代入得 y=−4。顶点 (3,−4)。
代价快；公式记错一个符号就全错。
如果去掉一个条件
结论：y=ax2+bx+c 的图象是抛物线，有一个最高点或最低点 ← 还成立吗？
a=0 时，不管 b、c 怎么变，图象总有一个顶点：开口向上时它是最低点，开口向下时它是最高点。
a=0 时，y=2x+1 只是一条直线：没有顶点，没有对称轴，也没有最大或最小值。
把 a 从 0 往两边各挪一格，看看抛物线是怎么“长出来”的。
所以题目说“二次函数”，就是在悄悄告诉你 a=0；题目只说“函数 y=ax2+bx+c”，那 a=0 的情况要单独讨论。
练一练
求 y=x2−4x+1 的最小值。
提示 · 方法配方，写成 (x−h)2+k 的样子。
提示 · 第一步x2−4x+1=x2−4x+4−4+1。
完整解答y=(x−2)2−3。当 x=2 时平方项为 0，最小值是 −3。
抛物线 y=−2(x−1)2+8 与 x 轴交于两点。写出这两个交点的横坐标。
提示 · 方法令 y=0，把 (x−1)2 当成一个整体解出来。
提示 · 第一步−2(x−1)2+8=0，即 (x−1)2=4。
完整解答x−1=±2，所以 x=3 或 x=−1。注意它们关于对称轴 x=1 对称。
抛物线 y=x2+bx+c 的顶点是 (2,−1)。写出 y= 后面的式子（展开的形式）。
提示 · 方法二次项系数是 1，直接写出顶点式，再展开。
完整解答(x−2)2−1=x2−4x+4−1=x2−4x+3。所以 b=−4，c=3。
一条抛物线经过 (−1,0)、(3,0) 和 (0,6)。写出 y= 后面的式子。
提示 · 方向前两个点有什么特别？它们都在 x 轴上。
提示 · 方法已知与 x 轴的两个交点，设 y=a(x+1)(x−3)，只剩一个未知数 a。
提示 · 第一步把 (0,6) 代入：6=a⋅1⋅(−3)。
完整解答a=−2，所以 y=−2(x+1)(x−3)=−2x2+4x+6。
b 取遍所有实数时，抛物线 y=x2+bx+1 的顶点在动。所有这些顶点都落在另一条抛物线上。写出这条抛物线 y= 后面的式子。
提示 · 方向回到上面的图，只拖 b，看顶点走过的路线。它的开口朝哪边？
提示 · 方法用 b 表示顶点的横坐标 h 和纵坐标 k，再想办法消去 b。
完整解答由 h=−2b 得 b=−2h，代入 k=1−44h2=1−h2。顶点 (h,k) 满足 k=−h2+1，即在抛物线 y=−x2+1 上。