配方 · 看得见的小蓝本

一句话

x^{2} + b x = (x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

一个正方形旁边贴着一块长条，离“完全平方”只差一个角。把角补上，再把补的减掉——式子没有变，但现在它是“一个平方加一个常数”，而平方永远不小于 $0$ 。配方之后能做的事，全都来自这一点。

例：把 x² + 6x + 5 配方

第 1 / 5 步

先不管常数
盯住 $x^{2} + 6 x$ ：一个边长为 $x$ 的正方形，加一块 $6 \times x$ 的长条。

$x^{2} + 6 x + 5$
长条对半切
搬一块到下面
补角，再还回去
收拾常数

第 1 站 · 解方程（卷二）

配方把“二次”变成了“开平方”。

先猜后证

$(x + 3)^{2} = 4$ 有几个实数解？

1

个

2

个没有

先选定答案，才能看到结论。

一题多解

解方程 $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ 。

十字相乘

$5 = 1 \times 5$ ， $1 + 5 = 6$ ，所以 $(x + 1) (x + 5) = 0$ ，得 $x = - 1$ 或 $x = - 5$ 。

代价最快，但要凑得出整数。

配方

$(x + 3)^{2} - 4 = 0$ ，即 $(x + 3)^{2} = 4$ ， $x + 3 = \pm 2$ ，得 $x = - 1$ 或 $x = - 5$ 。

代价多写两行，但根是不是整数都能用。

第 2 站 · 求最值（卷三）

配方之后 $y = (x - h)^{2} + k$ 。平方项最小是 $0$ ，所以 $y$ 最小是 $k$ ，在 $x = h$ 时取到——顶点坐标直接写在式子里。

拖动

b

、

c

。最小值的读数和式子最后那个常数，是不是总是同一个数？

第 3 站 · 添项再分解（卷一）

$x^{4} + 4$ 看上去没法分解：它没有实数根。但它离完全平方只差一个中间项。

例：分解 x⁴ + 4

第 1 / 4 步

把它看成两个平方
$x^{4} = (x^{2})^{2}$ ， $4 = 2^{2}$ 。完全平方 $(x^{2} + 2)^{2}$ 还需要一个中间项 $2 \cdot x^{2} \cdot 2 = 4 x^{2}$ 。

$(x^{2})^{2} + 2^{2}$
无中生有
前三项配成平方
平方差

第 4 站 · 非负性（卷二）

几个平方加起来等于 $0$ ，只有一种可能：每一个都是 $0$ 。所以一个方程也能定出两个未知数。

已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 13 = 0$ 。分别对 $x$ 和 $y$ 配方，把 $13$ 拆成 $4 + 9$ ：

(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) = 0 ⟹ (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 0

于是 $x = 2$ ， $y = - 3$ 。

练一练

练习 1基础

$x^{2} - 8 x + 9$ 的最小值是多少？

练习 2提高

已知 $a^{2} + b^{2} - 2 a + 6 b + 10 = 0$ ，求 $a$ 和 $b$ 。（按 $a$ 、 $b$ 的顺序或任意顺序填写，用逗号隔开。）

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展品

有借无还

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} + 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(x + 3)^{2}$ 展开是 $x^{2} + 6 x + 9$ ，比原来的 $x^{2} + 6 x$ 多出了 $9$ 。补上的角是借来的，没有减回去，式子的值就变了。

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4

。

「添一项，就要减一项」

展品

首项系数没提干净

2 x^{2} + 8 x = 2 (x^{2} + 4 x) = 2 (x + 2)^{2} - 4

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　括号里补的 $4$ 被外面的 $2$ 放大了： $2 (x + 2)^{2} = 2 x^{2} + 8 x + 8$ ，实际多出来的是 $8$ ，不是 $4$ 。

2 x^{2} + 8 x = 2 [(x + 2)^{2} - 4] = 2 (x + 2)^{2} - 8

。先在括号里借还清楚，再乘出去。

「在括号里借的，在括号里还」

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