函数的最值

这一招在做什么

没有限制时，二次函数的最值就在顶点。可是题目常常只让 $x$ 在一段区间里取值——这时顶点可能根本不在场。

y = a (x - h)^{2} + k, m \leq x \leq n

配方，找出对称轴 $x = h$ 。
看对称轴和区间 $[m, n]$ 的位置：在左边、在里面、还是在右边。
开口向上时：最小值按这三种情况分别在左端点、顶点、右端点；最大值在离对称轴更远的那个端点。（开口向下，把“最大”“最小”对调。）

换句话说，最值的候选人只有三个：两个端点，加上落在区间里的顶点。

先猜后证

$y = x^{2} - 4 x + 5$ ，只让 $x$ 在 $3 \leq x \leq 5$ 里取值。 $y$ 的最小值是多少？

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍：动轴定区间

区间固定，对称轴带着字母到处跑。

例：f(x) = (x − h)² − 2 在 −1 ≤ x ≤ 2 上的最值

第 1 / 5 步

轴在区间左边
$h = - 3$ 。区间里的这段图象全在对称轴右侧，一路上升：最小值在左端点，最大值在右端点。

$h < - 1 : 最小 = f (- 1) = (h + 1)^{2} - 2$
轴进了区间
轴越过区间中点
轴到了区间右边
把三种情况写在一起

再做一遍：定轴动区间

这回抛物线不动，区间带着字母滑动。想法完全一样：看对称轴落在区间的哪一边。

例：f(x) = x² − 2x − 1 在 t ≤ x ≤ t + 2 上的最小值

第 1 / 5 步

先配方
$f (x) = (x - 1)^{2} - 2$ ，对称轴 $x = 1$ 固定不动。区间 $[t, t + 2]$ 的宽度是 $2$ 。

$f (x) = (x - 1)^{2} - 2$
区间整个在轴的左边
区间盖住了轴
区间整个到了轴的右边
写成分段的答案

一题多解

求 $y = x^{2} - 6 x + 10$ 在 $1 \leq x \leq 4$ 上的最大值和最小值。

配方，看轴的位置

$y = (x - 3)^{2} + 1$ ，对称轴 $x = 3$ 在区间里，所以最小值是 $1$ 。

区间中点是 $2.5$ ，对称轴在中点右边，左端点 $x = 1$ 离它更远：最大值是 $f (1) = 5$ 。

代价能看清为什么；含字母时只有这条路。

把三个候选人都算一遍

候选人：左端点、右端点、区间里的顶点。

$f (1) = 5$ ， $f (4) = 2$ ， $f (3) = 1$ 。

最大的是 $5$ ，最小的是 $1$ 。

代价不用动脑，数字题很快；含字母时比不出大小。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：开口向上时，最小值就是顶点的纵坐标

对称轴在区间里的时候，顶点就是这一段的最低点，没问题。

练一练

练习 1基础

求 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 在 $0 \leq x \leq 3$ 上的最大值。

练习 2基础

求 $y = - x^{2} + 4 x + 1$ 在 $3 \leq x \leq 5$ 上的最大值。

练习 3提高

实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + y = 6$ 。求 $x y$ 的最大值。

练习 4提高

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 1$ 在 $0 \leq x \leq 2$ 上的最小值是 $- 8$ 。求 $a$ 。

练习 5挑战

$f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 在 $t \leq x \leq t + 1$ 上的最小值是 $5$ 。求 $t$ 的所有可能值。

这一招在做什么

跟着做一遍：动轴定区间

例：f(x) = (x − h)² − 2 在 −1 ≤ x ≤ 2 上的最值

再做一遍：定轴动区间

例：f(x) = x² − 2x − 1 在 t ≤ x ≤ t + 2 上的最小值

配方，看轴的位置

把三个候选人都算一遍

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

不看区间，直接取顶点

对称轴含字母，却不分类