一句话
一把尺子量到底，不重不漏。
有些题没法一口气做完，因为“情况不一样，做法就不一样”。那就分开做。分类只有三条纪律：
- 一个标准：每次只按一件事来分（按最长边、按余数、按对称轴的位置……）。
- 不重：任何一种情况只落在一类里。
- 不漏：所有的类合起来，正好是全部情况。
分好之后，每一类都比原题多了一个已知条件——题目就变简单了。
先猜后证
抛物线 的对称轴是 。求它在区间 上的最小值，按“对称轴和区间的位置关系”要分几种情况？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
种：对称轴在区间右边、在区间里面、在区间左边。每一种情况下，最小值取到的位置不一样。
第 1 站 · 二次函数的最值（卷三）
例：求 y = x² − 2x − 3 在 [p, p + 3] 上的最小值
第 1 / 5 步- 先定标准
配方：，对称轴 ，开口向上。最小值在哪里取到，只看对称轴在区间的哪一边。
交界点归哪一类都可以，但只能归一类；两边算出来的值在交界处应当相等——这是检查分类有没有出错的好办法。
第 2 站 · 含字母系数的方程（卷二）
解方程 时，“除以 ”这一步只有 才能做。字母系数的方程，天生就要分类。
例：解关于 x 的方程 m²x − 1 = x + m
第 1 / 5 步- 整理成 ax = b
含 的移到左边，其余移到右边，两边分解因式。
同样是“系数为 ”，一个有无穷多解，一个无解——所以它们不能并成一类。
第 3 站 · 计数（卷七）
数数最怕乱数。按一个标准把对象排好队，每一类就能一眼数清。
三边长都是整数、周长为 的三角形有多少个？（三边相同的算同一个。）
例：周长为 15 的整数边三角形
第 1 / 6 步- 先排序，防止重复
约定 。这样 和 只会被数一次——这是“不重”。
第 4 站 · 不定方程（卷六）
整数有无穷多个，没法一个个试。但按除以 的余数分类，所有整数只有 类——无穷多种情况变成了五种。
例：证明 n² + n + 1 永远不是 5 的倍数
第 1 / 4 步- 定标准：n 除以 5 的余数
任何整数 都能写成 ，其中 。不重不漏，正好五类。
练一练
三边长都是整数、周长为 的三角形有多少个？
提示 · 方向
先约定 ，再选一个分类标准。
提示 · 方法
按最长边 分类。由 和 定出 的范围。
提示 · 第一步
且 ，所以 或 。
完整解答
：，，有 ， 个。：，，有 ， 个。共 个。
关于 的方程 无解。求 的值。
提示 · 方向
什么样的方程 没有解？
提示 · 方法
无解需要 而 。先找出让系数为 的 ，再分别检查右边。
提示 · 第一步
得 或 。两个都要代回去看。
完整解答
：方程是 ，无解。：方程是 ，任何数都是解。所以 。
已知 在区间 上的最小值是 。求 的所有可能值（用逗号隔开）。
提示 · 方向
配方，找出对称轴。然后按对称轴和区间的位置分三类。
提示 · 方法
。轴在区间右边（）时最小值是 ；在区间里面（）时是 ；在左边（）时是 。
提示 · 第一步
：，得 或 。别急着都收下，回头看这一类的条件。
完整解答
时 或 ，只有 符合 。 时最小值是 ，没有。 时 ，得 或 ，只有 符合。所以 或 。