一句话
一块 1×2 骨牌不管横放竖放，盖住的两个格子总是相邻的。把棋盘染成黑白相间，相邻的格子颜色一定不同——于是：
千变万化的铺法，被一句话管住了。染色（或者给每格记一个数，叫赋值）做的就是这件事：找一种标记，让每一步操作对它的影响是固定的；然后只要数一数，就知道哪些事永远做不到。
先猜后证
8×8 棋盘挖掉左上、右下两个角，剩 格。 块 1×2 骨牌能把它恰好铺满吗？
不能。格子总数对得上，但颜色对不上。下面一步一步看。
例：缺了两个角的棋盘
第 1 / 5 步- 数格子
挖掉两个对角，剩 格。，从格子数看不出问题。
注意这个证明的力量：我们没有去试所有的铺法（那多得数不清），只数了一次颜色。
第 1 站 · 染色（卷七）
换一种牌，就要换一种染法。1×3 的长条盖住连续三格，黑白相间管不住它。改用三种颜色斜着染：第 行第 列的颜色由 除以 的余数决定。长条上三个格子的 是连续三个整数，余数恰好是 各一次。
例：8×8 挖掉一个角，能用 1×3 长条铺满吗？
第 1 / 4 步- 数格子
剩 格，。格子数没问题。你可以先点格子试着铺几条。
想一想：要让三种颜色各剩 格，挖掉的必须是哪种颜色的格子？（挖对了颜色就一定能铺吗？看页面底部的错误博物馆。）
第 2 站 · 操作与游戏（卷七）
不涂颜色，改成记一个数，就是赋值。好的赋值让“总和”在操作中不变。
一排 个格子，从左到右编号 到 ，每格放一枚棋子。每次操作：选两枚棋子，一枚向左移一格，另一枚向右移一格。能不能把 枚棋子全部移进同一个格子？
例：六枚棋子能聚到一格吗？
第 1 / 4 步- 给棋子赋值
让每枚棋子的“值”等于它所在格子的编号。把所有棋子的值加起来，记作 。
先猜后证
把题目改成 个格子、 枚棋子。不变量 ，而 。这说明什么？
不变量只会说“不”。这里它没有反对，于是轮到我们动手： 号和 号相向各走三步， 号和 号各走两步， 号和 号各走一步，全部到了第 格。“能”要靠构造，“不能”才靠不变量。
第 3 站 · 奇偶分析（卷六）
黑白染色其实就是奇偶性的图画版： 是偶数涂黑，是奇数涂白。
教室里 共 个座位坐满了人。老师要求每个人都换到自己前、后、左、右相邻的一个座位上。能做到吗？
例：25 个人同时换到邻座
第 1 / 4 步- 座位表
每个格子是一个座位。相邻座位的“行号 + 列号”恰好差 ，奇偶性相反。
如果教室是 的呢？黑、白各 个，奇偶性不再反对——而且真能做到：让每一行里相邻的两个人互换座位（第 1、2 列互换，第 3、4 列互换），最后一列上下两两互换。
练一练
6×6 棋盘挖掉左上、右下两个角。在剩下的格子里，最多能放多少块互不重叠的 1×2 骨牌？
一排 个格子，编号 到 ，每格一枚棋子。每次选两枚棋子，一枚左移一格、一枚右移一格。要想把所有棋子聚到同一格，不变量“编号之和”必须是 的倍数。在 中，有多少个 通过了这项检查？
7×7 棋盘挖掉一格，剩 格，想用 条 1×3 长条铺满。按“行号 + 列号除以 的余数”染三种颜色（左上角的行号、列号都记作 ）。只有挖掉某一种颜色的格子才有希望。这种颜色的格子一共有多少个？