一句话
给格子涂上颜色，让每一步操作对颜色的影响是固定的；然后只数颜色，不看细节。
先猜一下上面那块棋盘：
先猜后证
8×8 的棋盘挖掉对角的两格，剩 62 格。31 块骨牌正好也是 62 格。能铺满吗？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
不能。下面用一块小一点的棋盘把理由看清楚——道理和 8×8 一模一样。
为什么铺不满（4×4 的小棋盘）
第 1 / 5 步 -
先试一试 挖掉对角两格，剩 14 格，需要 7 块骨牌。这是一次尝试：放了 6 块，剩下两格不相邻，第 7 块放不进去。换一种放法呢？试多少次都说明不了问题。
-
涂上黑白两色
-
一块骨牌盖什么
-
数颜色
-
所以不可能
染色的本事在于：它把“无数种铺法”压缩成了“两个数相不相等”。下面四站，颜色的涂法各不相同。
第 1 站 · 换一种砖，就换一种染法
6×6 的棋盘，用 9 条 1×4 的长条能铺满吗？
先试着铺。再试“黑白相间”——每条长条盖 2 黑 2 白，黑白各 18 格，没有矛盾。黑白染色帮不上忙。换成 4 种颜色的斜条呢？
4 色斜条：每格的颜色号是“行号 + 列号”除以 4 的余数。一条 1×4 的长条不管怎么放，都盖住 1,2,3,4 号色各一格。
砖有多长，就用几种颜色，沿斜线一条一条地涂：这样长条横放、竖放都恰好每种颜色盖一格。
第 2 站 · 挖掉哪一格？
5×5 的棋盘有 25 格。挖掉一格剩 24 格，想用 8 条 1×3 的长条铺满。
先猜后证
挖掉左上角那一格。剩下的 24 格能用 8 条 1×3 铺满吗？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
用 3 色斜条染色，25 格里三种颜色分别有 8,9,8 格。要铺满，剩下的必须是 8,8,8，所以挖掉的那格只能是有 9 格的那种颜色。左上角不是。
在下面点“换挖掉的格”，把缺口移到别处。两种方向的 3 色斜条都要过关——同时过关的格子有几个？
找到那个“两种染色都不反对”的位置之后，真的把它铺满。两种斜向都要求挖掉“多出来的那种颜色”。同时满足两个要求的格子只有正中间一个；而挖掉正中间，确实能铺成一个风车。染色排除了 24 个位置，最后一个位置靠构造。
第 3 站 · 走格子
从左上角出发，每步走到上下左右相邻的格子，要每格恰好经过一次，最后停在右下角。
先试几次。再打开“黑白染色”，看看每走一步，脚下的颜色怎么变。然后用“换终点”找一个走得通的终点。
每走一步，颜色换一次。36 格要走 35 步，奇数步之后颜色一定和起点相反。可是两个对角的颜色相同。这里的“骨牌”是一步，“黑白各一格”变成了“每步换色”。
第 4 站 · 给连线染色
颜色不一定涂在格子上。6 个人，每两个人要么互相认识（连红线），要么互相不认识（连蓝线）。一定有 3 个人两两认识，或者 3 个人两两不认识。 换成图的语言：6 个点两两连线，每条线染红或蓝，必有一个三边同色的三角形。
先自己试着躲开它。5 个点时躲得开，6 个点呢？
先切到“5 个点”，找一种没有同色三角形的染法（提示：外圈一种颜色，里面的五角星另一种）。再回到 6 个点。
-
盯住一个点 只看点 A。从它出发有 5 条线，每条不是红就是蓝。
-
抽屉原理
-
看 B、C、D 之间
-
要不然……
-
5 个点为什么不行
如果挖掉的两格颜色不同
结论：剩下的部分能用骨牌铺满 ← 还成立吗？
4×4 的棋盘挖掉同一条边上的两个角。打开黑白染色：一个白、一个黑，剩下 7 白 7 黑。动手铺满它。
改成挖掉对角的两个角：两格同色，剩下 6 白 8 黑。
不管怎么放，最后总剩下两个黑格——白格先用完了。点“问问电脑”，它会告诉你最多只能放 6 块。
练一练
6×6 的棋盘黑白相间染色，挖掉对角的两格。剩下的格子里，黑格和白格的个数相差多少？
提示 · 方向完整的 6×6 棋盘，黑白各多少格？对角的两格颜色相同吗？
提示 · 方法数一数对角两格的“行号 + 列号”：奇偶性相同，颜色就相同。
提示 · 第一步完整棋盘黑白各 18 格。左上角是第 1 行第 1 列，右下角是第 6 行第 6 列，行列号之和都是偶数，所以同色。
完整解答挖掉两个同色格，剩下一种颜色 16 格、另一种 18 格，相差 2。所以它不能用 17 块骨牌铺满。
教室里有 5×5=25 个座位，坐满了人。老师要求每个人都换到自己前、后、左、右相邻的一个座位上去。能做到吗？（填“能”或“不能”）
提示 · 方向把座位黑白相间地染色。一个人换座位以后，他座位的颜色怎么变？
提示 · 方法每个人都从一种颜色换到另一种颜色。数一数黑座位和白座位各有多少。
提示 · 第一步25 个座位，一种颜色 13 个，另一种 12 个。
完整解答坐在 13 个同色座位上的 13 个人，都要换到另一种颜色的座位上，可那种颜色只有 12 个座位。所以不能。
10×10 的棋盘按“行号 + 列号除以 4 的余数”染成 4 种颜色。格数最多的那种颜色有多少格？（由此可知 10×10 不能用 1×4 的长条铺满。）
提示 · 方向如果能铺满，25 条长条会让四种颜色各有多少格？
提示 · 方法按“行号 + 列号”把格子分成一条条斜线，同一条斜线同色。数每条斜线的格数。
提示 · 第一步把行、列都从 0 数到 9。和为 s 的斜线，格数依次是 1,2,…,10,9,…,1（s=0,1,…,18）。
完整解答余数为 1 的斜线是 s=1,5,9,13,17，共 2+6+10+6+2=26 格；其余三种颜色是 25,25,24 格。如果能铺满，每种颜色都该是 25 格，矛盾。答案是 26。
在 7×7 的方格里，从某一格出发，每步走到相邻的格子，能否每格恰好经过一次，最后回到出发的那一格？（填“能”或“不能”）
提示 · 方法黑白染色，每步换一次颜色。回到起点意味着颜色和开始时相同。
提示 · 第一步经过 49 格再回到起点，一共走 49 步。
完整解答每步换一次颜色，走偶数步才能回到原来的颜色。49 是奇数，所以走完 49 步后所在格的颜色和起点不同，不可能回到起点。答案：不能。
5 个点两两连线，共 10 条线，每条染成红色或蓝色，使得没有三边同色的三角形。这时红线一定恰好有多少条？
提示 · 方向看一个点连出的 4 条线。如果其中有 3 条同色，会发生什么？
提示 · 方法用第 4 站的论证：一个点连出 3 条同色线，就一定出现同色三角形。所以每个点恰好连出 2 红 2 蓝。
提示 · 第一步每个点恰好连着 2 条红线。5 个点一共数出 5×2=10 个“红线头”。
完整解答每条红线有两个头，所以红线有 10÷2=5 条（蓝线也是 5 条）。实际的染法就是：外圈五边形一种颜色，五角星另一种颜色。