一句话
把整数只分成两类：奇数和偶数。别的信息全扔掉。
好处是：很多复杂的操作，在这副“只分两色的眼镜”下面什么也没改变。一个量如果奇偶永远不变，而目标的奇偶和起点不同，那目标就永远到不了——不必把所有做法试一遍。
最常用的一条：一串整数相加，和的奇偶只看里面有几个奇数。奇数个奇数，和是奇数；偶数个奇数，和是偶数。
先猜后证
不要算出结果： 是奇数还是偶数？
到 里有 个奇数：。奇数个奇数相加是奇数，偶数加进来不影响奇偶。所以和是奇数。（真去算，是 。）
第 1 站 · 奇偶分析（卷六）
在 每个数前面填上 或 。能让结果等于 吗？先自己试几次。
例：±1 ± 2 ± 3 ± … ± 10 能等于 0 吗？
第 1 / 5 步- 全用加号
先全部填 ：和是 ，是个奇数。
第 2 站 · 方程的整数解（卷二）
和 相差 ，所以它们同奇偶。这一对搭档一出现，就该想到奇偶。
先猜后证
、 是整数。 可能等于 吗？
两个因数同奇偶。都是奇数，积是奇数；都是偶数，积是 的倍数。 是偶数却不是 的倍数，两种都不符合。
例：x² − y² = 2026 有整数解吗？
第 1 / 5 步- 先分解
平方差公式：左边是两个整数的乘积。
这里先用了奇偶（模 ），不够，又多看了一步“是不是 的倍数”（模 ）。奇偶分析就是最简单的“选模”——“选择合适的模”那条线路讲的是同一件事的升级版。
第 3 站 · 染色（卷七）
黑白相间的棋盘，就是画出来的奇偶：第 行第 列的格子，按 的奇偶染色。走到相邻的格子， 变化 ，颜色一定改变。
的方格板，每格里有一只甲虫。一声哨响，每只甲虫都爬到相邻（有公共边）的格子里。是否一定有格子空出来？
例：25 只甲虫同时搬家
第 1 / 5 步- 先随便想想
只甲虫， 个格子。好像只要安排得巧，就能正好换一遍位置？
换成 的板，黑白各 格，这个论证就失效了——事实上这时可以做到没有空格（相邻两只互换位置就行）。
第 4 站 · 操作与游戏（卷七）
回到页面顶上的杯子： 只杯子口朝上，每次恰好翻 只。
例：7 只杯子，每次翻 4 只，能全部朝下吗？
第 1 / 5 步- 盯住一个数
不看哪只杯子，只数口朝下的杯子有几只。开始是 只。
改一个数字，结论就变了。下面每次翻 只：变化量 是奇数，奇偶每步都在换。这回能做到吗？最少几步？
练一练
除以 的余数是多少？（填 或 ，不要把和算出来。）
黑板上写着 。每次擦掉任意两个数 、，写上它们的差 。这样做 次后只剩一个数。它是奇数还是偶数？
这四个数里，恰有一个不能写成两个整数的平方差 。是哪一个？