一句话
一个方程两个未知数，实数解有无穷多个，连成一条线。但如果只要整数解，情况就完全不同了：整数解是这条线恰好穿过的格点，它们稀稀拉拉，常常只有有限个，甚至一个也没有。
求整数解的全部功夫，就是利用整数才有的性质——整除、因数分解、有界、奇偶——把无穷多个候选筛成数得清的几个。
例：3x + 5y = 47 的正整数解
第 1 / 5 步 -
先找一个 试几个 y：y=7 时 3x=47−35=12，x=4。所以 (4,7) 是一组整数解，直线经过这个格点。
3×4+5×7=47
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怎样走到下一个格点
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写出全部整数解
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加上“正整数”的条件
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数一数
第 1 站 · 整除：直线会不会根本碰不到格点
ax+by=c 不一定有整数解。左边不管 x、y 取什么整数，都是 a 和 b 的最大公因数的倍数；右边要是不是，就没戏了。
结论：ax+by=c 有整数解 ← 还成立吗？
6x+9y=21：6 和 9 的最大公因数是 3，21 是 3 的倍数。直线上有格点，而且每隔一段就有一个。
只把 21 改成 20：6x+9y=20。直线几乎没动，可是……找找看，它经过哪个格点？
一个也没有。左边 6x+9y=3(2x+3y) 永远是 3 的倍数，而 20 不是。直线从格点之间的缝隙里穿了过去。
第 2 站 · 分解：把“和”变成“积”
方程 xy−2x−3y=0 看上去无从下手。但在两边各加 6，左边就能分解：
xy−2x−3y+6=6⟹(x−3)(y−2)=6
两个整数相乘得 6，只有有限种可能。每一种拆法，对应曲线上的一个格点。
先猜后证
(x−3)(y−2)=6 一共有多少组整数解？（正的、负的都算。）
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
6 的正因数有 1,2,3,6 四个，给出四种拆法；两个因数同时取负，又是四种。一共 8 组。
把八种拆法都点一遍。阴影长方形的“长 × 宽”始终是 6。其中 x、y 都是正数的有 4 组。顺便一提，xy−2x−3y=0 两边除以 xy 就是 x3+y2=1。所以这个分式方程的正整数解也是那 4 组：(4,8)、(5,5)、(6,4)、(9,3)。
第 3 站 · 有界：先圈范围，再挨个查
x2+y2=50。平方不会是负数，所以 x2≤50，∣x∣≤7。候选一下子从“所有整数”缩到了十几个，一个一个查就行。
把 ∣x∣ 从 0 拖到 7。每到一列，只需要问一句：50−x2 是不是平方数？
这一招的要点是先证明候选只有有限个。只要范围圈住了，哪怕笨办法也一定能做完。
第 4 站 · 奇偶：有时一个解都没有
一题多解
求 x2−y2=21 的正整数解。
分解成积
(x−y)(x+y)=21。x、y 是正整数，所以 x+y>x−y>0，只有两种拆法：
- x−y=1，x+y=21：x=11，y=10
- x−y=3，x+y=7：x=5，y=2
共两组：(11,10) 和 (5,2)。
代价最快，但要方程本身能分解。
先估范围再枚举
x>y，所以 x≥y+1，x2−y2≥(y+1)2−y2=2y+1。于是 2y+1≤21，y≤10。
把 y=1,2,…,10 逐个代入，看 21+y2 是不是平方数：只有 y=2（25=52）和 y=10（121=112）。
代价不依赖分解，但要多试几次。
同一个方程，把 21 换成 30 会怎样？
x² − y² = 30 没有整数解
第 1 / 4 步 -
还是先分解 (x−y)(x+y)=30。
(x−y)(x+y)=30
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两个因数的奇偶性相同
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两种情况都不行
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结论
练一练
方程 2x+3y=20 有多少组正整数解？
提示 · 方向2x 和 20 都是偶数，那 3y 呢？
提示 · 方法y 必须是偶数。再用 x>0 给 y 圈一个范围。
提示 · 第一步3y<20，所以 y≤6；y 是正偶数，只能是 2,4,6。
完整解答y=2 时 x=7；y=4 时 x=4；y=6 时 x=1。共 3 组。
在方程 xy+2x−y=7 的所有整数解中，x 最大是多少？
提示 · 方向左边再减去一个常数，就能分解成两个一次式的乘积。
提示 · 方法xy+2x−y−2=(x−1)(y+2)。两边同时减 2。
提示 · 第一步(x−1)(y+2)=5。5 能拆成哪几对整数的乘积？
完整解答x−1 可以是 1,5,−1,−5，所以 x 可以是 2,6,0,−4。最大是 6（这时 y+2=1，y=−1；检验：−6+12+1=7）。
方程 x2+y2=65 有多少组整数解？
提示 · 方法∣x∣≤8。对 ∣x∣=0,1,…,8 逐个看 65−x2 是不是平方数。别忘了正负号。
提示 · 第一步65−1=64，65−16=49，65−49=16，65−64=1 是平方数，其余不是。
完整解答(∣x∣,∣y∣) 可以是 (1,8)、(4,7)、(7,4)、(8,1) 四种。每种的 x、y 各有正负两种选择，共 4×4=16 组。
方程 x1+y1=61 有多少组正整数解？
提示 · 方向先去分母，变成整式方程，再想办法分解。
提示 · 方法去分母得 6x+6y=xy，即 xy−6x−6y=0。两边加上一个数，让左边能分解。
完整解答x、y 是正整数，所以 x−6 和 y−6 都大于 −6。如果两个都是负数，它们的积小于 36，不行。所以两个都是正数，各取 36 的一个正因数。36 有 9 个正因数，共 9 组解。