这一招在做什么
含两个未知数、最高次数是二次的方程，图象是一条曲线：圆、抛物线、双曲线，或者干脆是直线。方程组的解，就是两条曲线的公共点。
最常见的一类：一个方程是一次的，另一个是二次的。办法和二元一次方程组一样——代入消元：
- 从一次方程里解出一个未知数（用另一个表示）。
- 代入二次方程，得到一个一元二次方程。它的判别式 决定解的个数。
- 解出这个未知数，再代回一次方程求另一个。
直线和二次曲线最多有两个公共点，所以这类方程组最多两组解。 两组， 一组（相切）， 没有。
跟着做一遍
例：解 2x − y = 5，x² + y² = 10
第 1 / 6 步- 看结构
① 是一次方程，图象是直线；② 是二次方程，图象是圆。我们要找的是直线和圆的公共点。
对称的方程组：请韦达定理帮忙
有一类方程组长得特别整齐：把 和 对调，方程组不变。最基本的一个是
两个数的和与积都知道了。韦达定理说：这两个数正是 的两个根。所以不用代入，直接解这个一元二次方程就行。
先猜后证
方程组 ， 有几组实数解？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
、 是 的两个根。判别式 ，没有实数根，所以方程组没有实数解。
换个角度：和为 的两个实数，积最大是 ，到不了 。在图上，直线 从双曲线 的两支之间穿过去了。
注意对称方程组的解总是成对出现： 是解， 也一定是解。图上，它们关于直线 对称。
两个都是二次
两条二次曲线最多可以有四个公共点。这时没有现成的一次方程可以代入，要想办法造一个出来。
一题多解
解方程组 ，。
配成完全平方
第一个方程加上第二个方程的 倍：，即 ，。
第一个方程减去第二个方程的 倍：，。
四种组合各是一个二元一次方程组：
- ，：
- ，：
- ，：
- ，：
代价要看得出 x²+y²±2xy 的结构，但算起来只有一次方程。
代入，变成双二次方程
由 知 ，所以 。代入第一个方程：
把 看成整体：，所以 或 。
再由 得四组解：、、、。
代价不用动脑筋找结构，但要解一个四次方程。
练一练
解方程组 ，。写出 的所有可能值。（用逗号隔开。）
提示 · 方向
知道两个数的和与积，它们是哪个一元二次方程的根？
提示 · 方法
、 是 的两个根。
提示 · 第一步
。
完整解答
两个根是 和 ，所以解是 和 。 可以是 或 。
解方程组 ，。写出 的所有可能值。
提示 · 方向
第一个方程已经把 用 表示好了。
提示 · 方法
把 代入第二个方程，得到关于 的二次方程。
提示 · 第一步
，展开得 ，即 。
完整解答
， 或 。对应 或 ，解是 和 。
直线 与圆 只有一个公共点。求 的所有可能值。
提示 · 方向
“只有一个公共点”对消元后的二次方程意味着什么？
提示 · 方法
代入后得到关于 的二次方程，令它的判别式等于 。
提示 · 第一步
，即 。
完整解答
。令 ，得 ， 或 。
解方程组 ，。写出 的所有可能值。
提示 · 方向
两个方程都是二次的。 再加上几个 就成了完全平方？
提示 · 方法
算出 和 ，开方后得到四个二元一次方程组。
提示 · 第一步
，。
完整解答
，。四种组合给出 、、、。所以 可以是 、、、。