无理方程

这一招在做什么

根号里有未知数的方程叫无理方程。去掉根号的办法是两边平方：

x + 5 = x - 1 两边平方 x + 5 = (x - 1)^{2}

把根号单独留在一边。（否则平方之后根号还在。）
两边平方，右边要用完全平方公式整个地平方。
解得到的整式方程。
代回原方程检验。让右边变成负数的根是增根，要舍去。

为什么会有增根？因为平方会“抹掉”符号： $3^{2} = 9$ ， $(- 3)^{2}$ 也是 $9$ 。所以下面两个不同的方程，平方之后是同一个方程：

x + 5 = x - 1 和 - x + 5 = x - 1

在图上， $y = x + 5$ 是抛物线的上半支， $y = - x + 5$ 是下半支。平方之后，直线与整条抛物线的交点全都成了“根”。下半支是原方程里根本没有的东西，我们叫它影子分支。落在影子上的交点，就是增根。

先猜后证

方程 $x - 2 = - 3$ 有几个实数解？

0

个

1

个

2

个

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：解 √(2x+7) − x = −4

第 1 / 6 步

把根号单独留在左边
把 $- x$ 移到右边： $2 x + 7 = x - 4$ 。图上，实线是 $y = 2 x + 7$ ，直线是 $y = x - 4$ 。它们的交点才是我们要的。

$2 x + 7 = x - 4$
两边平方
解整式方程
检验 x = 1
检验 x = 9
写结论

让直线滑下来

解的个数取决于直线和上半支有几个交点。把直线 $y = x - m$ 慢慢往下平移（ $m$ 变大），交点会出现、分开，然后其中一个溜到影子上去。

先猜后证

方程 $4 x = x - m$ 。让 $m$ 从 $- 3$ 逐渐增大到 $4$ ，实数解的个数依次是怎样变化的？

0 \to 1 \to 2 \to 1

0 \to 2 \to 1

0 \to 1 \to 2

2 \to 1 \to 0

先选定答案，才能看到结论。

根号里的东西反复出现？换元

例：解 x² + 3x + √(x²+3x) = 6

第 1 / 4 步

找到反复出现的那一块
$x^{2} + 3 x$ 出现了两次，一次在根号外，一次在根号里。设 $t = x^{2} + 3 x$ ，那么 $x^{2} + 3 x = t^{2}$ ，并且 $t \geq 0$ 。

$x^{2} + 3 x + x^{2} + 3 x = 6$
解关于 t 的方程
换回 x
检验

什么时候会出事

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：平方后的方程和原方程的解完全相同

$x + 1 = x + 1$ ：平方得 $x + 1 = (x + 1)^{2}$ ，解得 $x = - 1$ 或 $x = 0$ 。这两个 $x$ 都让右边 $x + 1 \geq 0$ 。逐个检验，两个都是真的根。

练一练

练习 1基础

解方程： $3 x + 1 = 4$ 。

练习 2基础

解方程： $x + 7 = x + 1$ 。

练习 3提高

解方程： $2 x - 1 + 2 = x$ 。

练习 4挑战

解方程： $x + 8 - x + 3 = 1$ 。

这一招在做什么

跟着做一遍

例：解 √(2x+7) − x = −4

让直线滑下来

根号里的东西反复出现？换元

例：解 x² + 3x + √(x²+3x) = 6

什么时候会出事

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

平方之后解出几个就写几个

平方时，把右边一项一项地平方