换元 · 看得见的小蓝本

一句话

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2})^{2} - 5 (x^{2}) + 4 t = x^{2} t^{2} - 5 t + 4

式子很长，往往不是因为它真的复杂，而是因为同一块东西被写了好几遍。给这一块起个名字 $t$ ，式子就缩成了一个你会做的小问题。在 $t$ 的世界里做完，再把 $t$ 换回原来的那一块。

换元一共三步：找到重复的那一块 → 在新世界里解决 → 回代。最容易丢的是第三步。

例：解方程 x⁴ − 5x² + 4 = 0

第 1 / 4 步

找重复的一块
$x^{4}$ 就是 $(x^{2})^{2}$ 。整个方程里， $x$ 只以 $x^{2}$ 的样子出现。

$(x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$
罩上透镜
在 t 的世界里解
取下透镜

先猜后证

用同样的办法解 $x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$ 。它有几个实数解？

4

个

2

个

0

个

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 因式分解（卷一）

重复的那一块不一定是 $x^{2}$ ，也可以是一整个二次式。

例：分解 (x² + 3x)² − 2(x² + 3x) − 8

第 1 / 4 步

先别展开
展开会得到一个四次式（图里上面那一行），反而看不出门道。保留结构： $x^{2} + 3 x$ 出现了两次。
换元
十字相乘
回代，再检查

第 2 站 · 高次方程（卷二）

有时候重复的那一块藏着，要先动手把它造出来。

例：解方程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24

第 1 / 5 步

怎么配对
四个括号全部乘开是四次方程。换个乘法顺序：首尾一对，中间一对。因为 $1 + 4 = 2 + 3$ ，两个积的前两项完全一样。

$x^{2} + 5 x + 4 (x + 1) (x + 4) \cdot x^{2} + 5 x + 6 (x + 2) (x + 3) = 24$
换元
解出 t
回代
检验

第 3 站 · 分式方程（卷二）

$x$ 和 $\frac{1}{x}$ 同时出现时，盯住 $x + \frac{1}{x}$ 。它的平方里正好藏着 $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ 。

例：解方程 x² + 1/x² − 3(x + 1/x) + 4 = 0

第 1 / 6 步

找关系
把 $x + \frac{1}{x}$ 平方，中间项 $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$ 恰好是常数 $2$ 。

$(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$
换元
解出 t
回代 t = 2
回代 t = 1
结论

第 4 站 · 无理方程（卷二）

带根号的方程，平方是一种办法，但平方会带进假的解。换元更干净：把根号整个叫做 $t$ ，并且记下 $t \geq 0$ 。

例：解方程 x − 3 = √(x + 3)

第 1 / 5 步

把根号外面也凑成 x + 3
左边 $x - 3 = (x + 3) - 6$ 。移项后， $x + 3$ 在根号里外各出现一次。

$(x + 3) - x + 3 - 6 = 0$
换元，带上范围
解出 t
回代
和“两边平方”比一比

练一练

练习 1基础

解方程 $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ 。（把所有实数解用逗号隔开。）

练习 2提高

分解因式： $(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12$ 。

练习 3挑战

解方程 $x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 24$ 。（把所有实数解用逗号隔开。）

错误博物馆 · 本站展品

离站之前，看看别人在这里踩过的坑。去博物馆看全部展品 →

展品

忘了新元有自己的取值范围

解

x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0

：令

t = x^{2}

，得

t = 9

或

t = - 4

，所以

x = \pm 3

或

x = \pm 2

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $t$ 不是随便一个数，它是 $x^{2}$ ，所以 $t \geq 0$ 。 $t = - 4$ 意味着 $x^{2} = - 4$ ，没有实数 $x$ 能做到。把 $- 4$ 当成 $4$ 去开方，就凭空多出了两个假的解。

t = - 4

舍去。只有

x^{2} = 9

，即

x = \pm 3

。代回原方程：

81 - 45 - 36 = 0

，成立。

「换元的同时，把新元的范围也换过去」

展品

停在 t 的世界里没回来

分解

(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8

：令

t = x^{2} + 3 x

，得

(t - 4) (t + 2)

，所以答案是

(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2)

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　回代只做了一半。透镜取下来之后，每个因式要在 $x$ 的世界里重新检查： $x^{2} + 3 x - 4$ 和 $x^{2} + 3 x + 2$ 都还能十字相乘。

(x^{2} + 3 x - 4) (x^{2} + 3 x + 2) = (x + 4) (x - 1) (x + 1) (x + 2)

。

「回代之后，再问一句“还能再分吗”」

换元

一句话

第 1 站 · 因式分解（卷一）

第 2 站 · 高次方程（卷二）

第 3 站 · 分式方程（卷二）

第 4 站 · 无理方程（卷二）

练一练

错误博物馆 · 本站展品

这条线路经过的站