高次方程

这一招在做什么

三次、四次方程没有顺手的万能公式。我们的办法只有一个词：降次——把它变成一次、二次方程。常用两条路：

1. 换元：式子里有一个“块”反复出现（比如 $x^2$、$x^2+x$、$x+\frac{1}{x}$），把这个块看成一个新字母 $t$，高次方程就成了 $t$ 的二次方程。
2. 解出 $t$，再送回去：每个 $t$ 的值都给出一个关于 $x$ 的低次方程。有的 $t$ 送不回去（比如 $x^2=-2$），那一支就没有实数根。
3. 因式分解：左边能分解成几个低次因式的乘积、右边是 $0$，就让每个因式分别等于 $0$。

最简单的例子是只含 $x^4$、$x^2$ 和常数的双二次方程：$x^4-5x^2+4=0$。把 $x^2$ 盖住看成 $t$，它就是 $t^2-5t+4=0$。

跟着做一遍

块不一定是 $x^2$。下面的方程展开是 $x^4+2x^3-7x^2-8x+12=0$，看起来很吓人；可它其实是这样写出来的：

系数左右对称的方程

$2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0$ 的系数是 $2,-9,14,-9,2$，从左读和从右读一样。这种方程有个固定的块：$x+\frac{1}{x}$。

因为 $x=0$ 不是根，可以两边同除以 $x^2$，再把首尾配对：

设 $t=x+\frac{1}{x}$，那么 $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$，方程变成 $2(t^2-2)-9t+14=0$，即 $2t^2-9t+10=0$。

注意 $t=2$ 那一支只给出一个 $x=1$（两个相等的根），所以曲线在 $x=1$ 处只是碰了一下 $x$ 轴。

另一条路：分解因式

没有明显的块时，试试上一卷的办法：先猜一个有理根，再把对应的一次因式除出来。

练一练