这一招在做什么
分母里有未知数的方程叫分式方程。我们会解的是整式方程，所以要把分母“乘掉”：
x−1x=x2−15x−3 ×(x2−1) x(x+1)=5x−3
- 找最简公分母，顺便写下“禁区”：哪些 x 会让分母为 0。
- 两边同乘公分母。每一项都要乘，没有分母的项也要乘。
- 解整式方程。
- 检验：把每个根代入公分母。让公分母为 0 的是增根，要舍去。
为什么会有增根？因为第 2 步不是“免费”的。由 A=B 一定能推出 A⋅M=B⋅M；可反过来，由 A⋅M=B⋅M 推出 A=B，需要 M=0。当 x 恰好让 M=0 时，A⋅M=B⋅M 变成了 0=0，当然成立——哪怕 A 和 B 根本没有意义。增根就是乘进来的那个式子自己的零点。
上面图里的虚线就是去分母之后的整式。它比实线多穿过横轴一次，多出来的那一次，正好踩在红色竖线上。
先猜后证
解方程 x−21+3=x−2x−1。去分母后得到 1+3(x−2)=x−1，解得 x=2。那么原方程的解是？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
x=2 让分母 x−2 等于 0，是增根。整式方程只有这一个根，所以原方程无解。
看图会更清楚：把左边减右边化简，其实恒等于 2（在 x=2 处缺一个点）。一条高度为 2 的水平线，永远碰不到横轴。
实线是“左边 − 右边”，它在 x=2 处是个空心点。虚线（去分母后的整式）却大摇大摆地穿过了那里。跟着做一遍
例：解 x/(x−2) = 8/(x²−4)
第 1 / 6 步 -
找公分母，写下禁区 x2−4=(x−2)(x+2)，所以最简公分母是 x2−4。禁区：x=2 且 x=−2，图上是两条红色竖线。
x−2x=(x−2)(x+2)8
-
两边同乘公分母
-
解整式方程
-
检验 x = 2
-
检验 x = −4
-
写结论
增根可以“定做”
增根不是运气不好才碰上的。它出现的条件非常明确：整式方程的根，恰好等于禁区里的数。所以带字母的题目常常反过来问：字母取什么值时，方程有增根？
下面的方程里有一个参数 k。去分母后是 x=2(x−3)+k，也就是 x=6−k。拖动 k，这个根会在横轴上滑动。
先猜后证
关于 x 的方程 x−3x=2+x−3k，当 k 等于多少时无解？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
去分母得 x=6−k。方程无解，只可能是这个唯一的根成了增根，即 6−k=3，所以 k=3。
拖动 k：绿点是方程的根。k=3 时它撞上竖线，变成 ✗。此时实线成了一条碰不到横轴的水平线。分母太乱？先换元
有的分式方程去分母后次数很高，但式子里有一块反复出现。把那一块看成一个字母，方程立刻变简单。
例：解 (x/(x−1))² − 5·x/(x−1) + 6 = 0
第 1 / 4 步 -
找到反复出现的那一块 x−1x 出现了两次。设 t=x−1x。别忘了禁区：x=1。
(x−1x)2−5⋅x−1x+6=0
-
解关于 t 的方程
-
换回 x
-
检验
什么时候会出事
结论：整式方程的根就是原方程的根 ← 还成立吗？
x−13=x+12：去分母得 3(x+1)=2(x−1)，x=−5。点一下检验：两个分母都不为 0，它是货真价实的根。
x−3x−2=x−33：去分母得 x−2(x−3)=3，x=3。自己点一下检验，看看机器怎么说。
整式方程有根，原方程却无解。两个方程不是一回事：去分母这一步把方程的“适用范围”悄悄放大了。所以检验不是为了查计算错误，而是解法本身的一部分。
练一练
解方程：x−32=x+11。
提示 · 方向两个分母不一样。公分母是什么？哪些 x 是禁区？
提示 · 方法两边同乘 (x−3)(x+1)，每个分式各约掉一个因式。
完整解答2x+2=x−3，x=−5。检验：x−3=−8，x+1=−4，都不为 0。所以 x=−5。
解方程：x−4x−3=x−44。（有解就填解，没有就填“无解”。）
提示 · 方向去分母时，−3 这一项也要乘 x−4。
提示 · 方法两边同乘 x−4，解出 x 之后，先别急着写答案——代入分母看看。
提示 · 第一步x−3(x−4)=4，即 −2x+12=4。
完整解答x=4。但 x=4 时分母 x−4=0，是增根。整式方程只有这一个根，所以原方程无解。
解方程：x+1x=x2−12。
提示 · 方向x2−1 能分解。公分母是谁？禁区有几个数？
提示 · 方法两边同乘 (x+1)(x−1)，得到一个二次方程；解出两个根后逐个检验。
提示 · 第一步x(x−1)=2，即 x2−x−2=0。
完整解答(x−2)(x+1)=0，x=2 或 x=−1。x=−1 让分母 x+1=0，是增根，舍去。x=2 时两边都是 32。所以 x=2。
关于 x 的方程 x−31+x2−9kx=x+32 有增根。求 k 的所有可能值。（用逗号隔开。）
提示 · 方法先去分母得到整式方程，再分别让 x=3 和 x=−3 成为它的根，各解出一个 k。
提示 · 第一步两边同乘 x2−9：(x+3)+kx=2(x−3)，整理得 (k−1)x=−9。
完整解答若增根是 x=3：3(k−1)=−9，k=−2。若增根是 x=−3：−3(k−1)=−9，k=4。两种情况下 k=1，整式方程确实有这个根。所以 k=−2 或 k=4。