韦达定理 · 看得见的小蓝本

韦达定理

两根之和、两根之积就写在系数里；不解方程也能算出关于两根的对称式——但先看 Δ。

观察

只把右边那个根向右拖 $1$ 格。两根之和变了多少？ $p$ 变了多少？方向一样吗？
把一个根拖到 $0$ 。两根之积是多少？方程的常数项 $q$ 呢？
不碰根，只拨 $q$ 的滑块：中点（蓝色小三角）不动，两个根一起向中间靠拢或向两边分开。和不变的时候，两个根靠得越近，积怎么变？
继续加大 $q$ ，直到两个根相撞。这时 $Δ$ 等于几？再加大一格，根去哪儿了？

先猜后证

不解方程： $x^{2} - 7 x + 3 = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，那么 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

为什么

系数里为什么藏着根的和与积？因为知道了两个根，方程就可以“乘”出来。

从两个根到两个系数

第 1 / 6 步

先有根，再造方程
想要一个根恰好是 $2$ 和 $5$ 的方程：让 $x - 2$ 和 $x - 5$ 相乘等于 $0$ 就行。

$(x - 2) (x - 5) = 0$
乘开，看一次项
再看常数项
换一对根也一样
一般的二次方程
倒过来用

不解方程，算对称式

把 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 对调，式子不变——这样的式子叫对称式。它们都能用“和”与“积”拼出来：

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}, \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}

下面是 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 。两个根是 $2 \pm 3$ ，带着根号；可是它们的平方和却是一个干净的整数。拖一拖根，看这两个对称式怎么跟着变。

注意

(x_{1} - x_{2})^{2}

和

Δ

永远相等——两根的距离就是

Δ

。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：可以用 $x_{1} + x_{2} = - p$ 、 $x_{1} x_{2} = q$ 来计算

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ： $Δ = 1 > 0$ ，两根是 $2$ 和 $3$ 。平方和 $= 5^{2} - 2 \times 6 = 13$ ，和直接算 $4 + 9$ 一样。

练一练

练习 1基础

不解方程，写出 $2 x^{2} - 6 x - 5 = 0$ 的两根之和与两根之积。（两个数用逗号隔开。）

练习 2基础

方程 $x^{2} + k x - 12 = 0$ 的一个根是 $3$ ，不求 $k$ ，直接求另一个根。

练习 3提高

$x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两个根，求 $\frac{x _{1}}{x _{2}} + \frac{x _{2}}{x _{1}}$ 。

练习 4挑战

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + 2 m + 3 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 。求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的最小值。

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展品

两根之和忘了变号

x^{2} - 5 x + 6 = 0

的两根之和是

- 5

，两根之积是

6

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　 $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ 展开后一次项是 $- (x_{1} + x_{2}) x$ ，所以两根之和等于一次项系数的相反数。这里两根是 $2$ 和 $3$ ，和明明是 $+ 5$ 。

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 5}{1} = 5

，

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 6

。

「和要变号，积不变号」

展品

用了韦达定理，却没查 Δ

方程

x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0

有两个实数根

x_{1}, x_{2}

。

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (2 m)^{2} - 2 (m + 2) = 4 (m - \frac{1}{4})^{2} - \frac{17}{4}

，所以最小值是

- \frac{17}{4}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　两个实数的平方和不可能是负数！问题出在 $m = \frac{1}{4}$ 时 $Δ = 4 m^{2} - 4 m - 8 < 0$ ，方程根本没有实数根， $x_{1}, x_{2}$ 不存在。

先保证有实根：

Δ \geq 0

即

m^{2} - m - 2 \geq 0

，得

m \leq - 1

或

m \geq 2

。在这个范围里，

4 m^{2} - 2 m - 4

在

m = - 1

时最小，等于

2

（此时两根都是

- 1

）。

「韦达定理说的是“根”的事——先确认根存在」

展品

首项系数不是 1，忘了除以 a

2 x^{2} - 6 x - 5 = 0

的两根之和是

6

，两根之积是

- 5

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　韦达定理是对 $x^{2} + p x + q = 0$ 这种首项系数为 $1$ 的方程读系数的。首项系数是 $2$ ，要先两边除以 $2$ 。

除以

2

：

x^{2} - 3 x - \frac{5}{2} = 0

。所以

x_{1} + x_{2} = 3

，

x_{1} x_{2} = - \frac{5}{2}

。

「先把首项系数化成 1，或者记住除以 a」