根的判别式

观察

先猜后证

方程 $x^{2} + b x + 9 = 0$ 有两个相等的实数根。这样的 $b$ 有几个？

只有

1

个

2

个无数个没有

先选定答案，才能看到结论。

为什么只看 $b^{2} - 4 a c$ 这一个数就够了？把方程配方，答案就在等号右边。

第 1 / 5 步

先配方
对 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）配方。左边是一个平方，不可能是负数；右边的分母 $4 a^{2}$ 是正数，所以右边的正负只由分子 $b^{2} - 4 a c$ 决定。给它起个名字： $Δ$ 。

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$
Δ > 0：两个不相等的实数根
Δ = 0：两个相等的实数根
Δ < 0：没有实数根
反过来也对

顶点也在说同一件事： $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点纵坐标是 $- \frac{Δ}{4 a}$ 。开口向上时， $Δ > 0$ 就是顶点沉到 $x$ 轴下面， $Δ < 0$ 就是顶点浮在上面。

有些方程带着字母，却可以断定它不管字母取什么值都有两个不等实根——办法是把 $Δ$ 再配一次方。

例： $x^{2} - (m + 1) x + m - 2 = 0$ 。

Δ = (m + 1)^{2} - 4 (m - 2) = m^{2} - 2 m + 9 = (m - 1)^{2} + 8 \geq 8 > 0.

一个平方加上 $8$ ，怎么也不会小于 $8$ 。所以无论 $m$ 是多少，方程总有两个不相等的实数根。

把

m

拨个遍：指针始终待在

Δ > 0

那一边，最小时是

8

。

Break it

结论： $Δ > 0$ 时方程有两个不相等的实数根

方程 $k x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，取 $k = 2$ ： $Δ = 16 - 8 = 8 > 0$ ，抛物线和 $x$ 轴有两个交点。一切正常。

练习 1基础

不解方程，算出 $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的判别式 $Δ$ 的值，并说出根的情况。（答案框里填 $Δ$ 。）

练习 2基础

方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，求 $m$ 。

练习 3提高

关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，求满足条件的最小整数 $k$ 。

练习 4挑战

对方程 $x^{2} - (m + 2) x + 2 m - 1 = 0$ ，把 $Δ$ 写成关于 $m$ 的式子并配方，求 $Δ$ 的最小值。由此说明：无论 $m$ 取什么实数，方程都有两个不相等的实数根。