判别式与韦达定理

一句话

二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）的三个系数里，藏着关于根的两条消息，都不需要把根解出来：

Δ = b^{2} - 4 a c 的正负 \Rightarrow 有几个实数根 x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

判别式回答“有没有”，韦达定理回答“加起来、乘起来是多少”。很多题目问的恰好只是这些。

看图：y = x² − 4x + c，让 c 变大

第 1 / 4 步

c = 3
图象和 $x$ 轴交于两点， $Δ = 16 - 12 = 4 > 0$ 。两根 $1$ 和 $3$ ，和是 $4$ ，积是 $3$ 。

$Δ = 4 > 0$
c = 4
c = 5
看出了什么

先猜后证

方程 $x^{2} - 6 x + k = 0$ 有两个相等的实数根。 $k$ 等于多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 根的判别式（卷二）

“有两个相等的实数根”翻译成一个等式： $Δ = 0$ 。原来关于 $x$ 的问题，变成了关于字母 $k$ 的方程。

例：k 取何值时，x² + kx + (k + 3) = 0 有两个相等的实数根？

第 1 / 5 步

先随便试一个
$k = 0$ 时方程是 $x^{2} + 3 = 0$ ，图象全在 $x$ 轴上方，没有根。

$k = 0 : Δ = - 12$
写出判别式
令它等于 0
检验 k = 6
检验 k = −2

第 2 站 · 韦达定理（卷二）

方程 $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 的两个根不是整数，写出来带着 $13$ 。但只要所求的式子交换两个根不变，就可以绕开根本身，只用和 $5$ 、积 $3$ 来算。

下面把两个根记作 $a$ 、 $b$ ，于是 $a + b = 5$ ， $ab = 3$ 。

例：不解方程，求 a² + b²、(a − b)²、a³ + b³

第 1 / 4 步

先确认有根
$Δ = 25 - 12 = 13 > 0$ ，两个实数根确实存在。这一步不能省。

$Δ = 13 > 0$
平方和
差的平方
立方和

为什么交换不变的式子一定能这样改写？那是另一条线路的故事——“对称”线（M5）。

第 3 站 · 函数与方程（卷三）

“直线与抛物线有几个公共点”，就是“联立之后的二次方程有几个根”——图象上的问题交给判别式。

例：直线 y = 2x + m 与抛物线 y = x² 只有一个公共点，求 m

第 1 / 5 步

联立
公共点的横坐标满足 $x^{2} = 2 x + m$ ，即 $x^{2} - 2 x - m = 0$ 。图里画的是 $y = x^{2} - 2 x - m$ ：它的根，就是公共点的横坐标。

$x^{2} - 2 x - m = 0$
m = 3 时
只有一个公共点
读出切点
再往下

第 4 站 · 整数根（卷二 · 卷三）

要求两个根都是整数时，韦达定理把“一个二次方程”变成“两个整数的和与积”，后面就是整数的游戏了。

例：求所有整数 m，使 x² − mx + m + 2 = 0 的两个根都是整数

第 1 / 5 步

写下韦达定理
设两个整数根是 $x_{1} \leq x_{2}$ 。

$x_{1} + x_{2} = m, x_{1} x_{2} = m + 2$
消去 m
凑成乘积
枚举
回到 m

练一练

练习 1基础

$x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 7 x + 5 = 0$ 的两个根。不解方程，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 。

练习 2提高

关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (k - 1) x + k + 2 = 0$ 有两个相等的实数根。求 $k$ 的所有可能值。（用逗号隔开。）

练习 3挑战

实数 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 k x + k + 2 = 0$ 的两个根。求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的最小值。

一句话

看图：y = x² − 4x + c，让 c 变大

第 1 站 · 根的判别式（卷二）

例：k 取何值时，x² + kx + (k + 3) = 0 有两个相等的实数根？

第 2 站 · 韦达定理（卷二）

例：不解方程，求 a² + b²、(a − b)²、a³ + b³

第 3 站 · 函数与方程（卷三）

例：直线 y = 2x + m 与抛物线 y = x² 只有一个公共点，求 m

第 4 站 · 整数根（卷二 · 卷三）

例：求所有整数 m，使 x² − mx + m + 2 = 0 的两个根都是整数

练一练

错误博物馆 · 本站展品

用了韦达定理，却没查判别式

忘了它得先是个二次方程

这条线路经过的站