主元法

一句话

关于 x ：三次 x^{3} - a x^{2} + 2 x - 2 a = 关于 a ：一次 - (x^{2} + 2) a + (x^{3} + 2 x)

一个式子里有几个字母，题目习惯把 $x$ 叫“未知数”，把其余的叫“参数”。但这只是称呼，式子自己并不知道谁是未知数。挑一个次数最低的字母当主元，把其余字母都看成系数，问题常常一下子变简单。

例：分解 x³ − ax² + 2x − 2a

第 1 / 4 步

照老习惯看
按 $x$ 排：三次式，系数里夹着 $a$ 。没有现成的公式。

$x^{3} - a x^{2} + 2 x - 2 a$
换一个主元
看两个系数
提出来

先猜后证

$x^{4} + x^{2} + 2 a x + 1 - a^{2}$ 关于 $x$ 是四次式。关于 $a$ 呢？

一次二次四次

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 二元二次式的分解（卷一）

两个字母都是二次的时候，任选一个当主元，另一个就进了系数——系数是式子的十字相乘。

例：分解 x² + 3xy + 2y² + 4x + 5y + 3

第 1 / 4 步

以 x 为主元
把含 $x^{2}$ 、含 $x$ 、不含 $x$ 的项各归一堆。

$x^{2} + (3 y + 4) x + (2 y^{2} + 5 y + 3)$
先分解“常数项”
凑“一次项系数”
写出结果

第 2 站 · 含字母系数的方程（卷二）

“无论 $m$ 取什么值都成立”——这句话在说：把 $m$ 当主元，得到的是一个关于 $m$ 的恒等式。一次式 $A m + B$ 对所有 $m$ 都等于 $0$ ，只能是 $A = 0$ 且 $B = 0$ 。

例：无论 m 取何值，直线 (m+1)x + (m−2)y − 3m = 0 都经过同一个点。求这个点

第 1 / 5 步

谁在变
$m$ 可以取任何值，而要找的点 $(x, y)$ 是固定的。所以这里真正的“变量”是 $m$ 。

$(m + 1) x + (m - 2) y - 3 m = 0$
以 m 为主元
对所有 m 成立
解方程组
检验

第 3 站 · 二次方程的整数根（卷二）

方程关于 $x$ 是二次的，可关于参数 $a$ 是一次的。那就把 $a$ 解出来，让整除性去挑 $x$ 。

例：求所有整数 a，使方程 x² − ax + a + 3 = 0 有整数根

第 1 / 5 步

照老习惯看
以 $x$ 为主元：判别式 $a^{2} - 4 a - 12$ 要是完全平方数。能做，但绕。

$Δ = a^{2} - 4 a - 12$
换主元
做一次除法
整除性来挑 x
算出 a

第 4 站 · 求范围（卷二 · 判别式）

想知道 $x$ 最大能是多少，反而要把 $x$ 当成已知的系数，让另一个字母当主元： $x$ 取某个值行不行，就看关于 $y$ 的方程有没有实数根。

例：实数 x、y 满足 x² + xy + y² = 3，求 x 的最大值

第 1 / 4 步

以 y 为主元
把 $x$ 看作系数。这是关于 $y$ 的二次方程。

$y^{2} + x y + (x^{2} - 3) = 0$
“x 取得到”是什么意思
算判别式
读出答案

练一练

练习 1基础

无论 $k$ 取什么值，直线 $y = k x - 2 k + 3$ 都经过同一个点。这个点的横坐标与纵坐标之和是多少？

练习 2提高

求所有整数 $a$ ，使关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + a + 1 = 0$ 有整数根。（用逗号隔开。）

练习 3挑战

实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2} - x y + y^{2} = 12$ 。求 $x$ 的最大值。

一句话

例：分解 x³ − ax² + 2x − 2a

第 1 站 · 二元二次式的分解（卷一）

例：分解 x² + 3xy + 2y² + 4x + 5y + 3

第 2 站 · 含字母系数的方程（卷二）

例：无论 m 取何值，直线 (m+1)x + (m−2)y − 3m = 0 都经过同一个点。求这个点

第 3 站 · 二次方程的整数根（卷二）

例：求所有整数 a，使方程 x² − ax + a + 3 = 0 有整数根

第 4 站 · 求范围（卷二 · 判别式）

例：实数 x、y 满足 x² + xy + y² = 3，求 x 的最大值

练一练

错误博物馆 · 本站展品

系数里带着字母，就直接除过去

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