二元二次式的分解

这一招在做什么

十字相乘处理的是 $a x^{2} + b x + c$ 。现在多了一个字母：

x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 2 x + 5 y - 3

如果它能分解，一定是两个一次式的积，每个一次式有三项： $x$ 的倍数、 $y$ 的倍数、一个常数。所以十字要摆三列：

第 1、2 列：把二次部分 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}$ 当成普通的十字相乘，分解成 $(x + 2 y) (x + y)$ 。
第 3 列：把常数项拆成两个数，分别跟在两个括号后面。
再验两个交叉：第 2、3 列交叉要凑出 $y$ 的系数，第 1、3 列交叉要凑出 $x$ 的系数。

先猜后证

把 $(x + 2 y + r_{1}) (x + y + r_{2})$ 乘开， $x$ 的一次项系数是什么？

r_{1} + r_{2}

r_{1} r_{2}

2 r_{1} + r_{2}

r_{1} + 2 r_{2}

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：分解 x² + 3xy + 2y² + 2x + 5y − 3

第 1 / 5 步

先摆前两列
只看 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}$ 。 $1 \times 1$ 和 $2 \times 1$ ，交叉相加 $1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3$ ，对上了 $x y$ 的系数。

$x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} = (x + 2 y) (x + y)$
拆常数项，先试一组
对调符号
别忘第三个交叉
横着读出答案

换个角度：把一个字母当主角

一题多解

分解 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 2 x + 5 y - 3$ 。

双十字相乘

前两列： $(x + 2 y) (x + y)$ 。第三列： $- 1$ 和 $3$ 。

验 $y$ 项： $2 \cdot 3 + 1 \cdot (- 1) = 5$ ；验 $x$ 项： $3 - 1 = 2$ 。

结果 $(x + 2 y - 1) (x + y + 3)$ 。

代价快，但三个交叉都要验，容易漏。

主元法

把 $x$ 当成唯一的字母， $y$ 当成“数”，按 $x$ 降幂排：

x^{2} + (3 y + 2) x + (2 y^{2} + 5 y - 3)

“常数项” $2 y^{2} + 5 y - 3 = (2 y - 1) (y + 3)$ 。这两个因式的和是 $3 y + 2$ ，正好是 $x$ 的系数。

所以原式 $= (x + (2 y - 1)) (x + (y + 3))$ 。

代价多写两行，但只用到普通的十字相乘。

从图上看：曲线裂成两条直线

让式子等于 $0$ ，它就是平面上的一条曲线。左边如果能写成 $(\dots) (\dots)$ ，那么“积为 $0$ ”就是“其中一个因式为 $0$ ”——每个一次因式是一条直线。

先猜后证

保持其他系数不动，只改常数项： $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 2 x + 5 y + f$ 。有多少个 $f$ 能让它分解成两个一次式的积？

只有

f = - 3

这一个恰好两个无穷多个

先选定答案，才能看到结论。

练一练

练习 1基础

分解因式： $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ 。

练习 2基础

分解因式： $2 x^{2} - x y - 3 y^{2}$ 。

练习 3提高

分解因式： $x^{2} + x y - 2 y^{2} + 2 x + 7 y - 3$ 。

练习 4挑战

已知 $x^{2} - y^{2} + 3 x + y + k$ 能分解成两个一次式的积，求 $k$ 。

这一招在做什么

跟着做一遍

例：分解 x² + 3xy + 2y² + 2x + 5y − 3

换个角度：把一个字母当主角

双十字相乘

主元法

从图上看：曲线裂成两条直线

练一练

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只验了一个交叉

只分解了二次部分