十字相乘

这一招在做什么

把两个一次式乘开看看：

(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + pq

常数项是两个数的积，中间项系数是同样两个数的和。十字相乘就是把这件事倒过来做：

上面操作台右边的长方形说的是同一件事：长是 $x + p$ ，宽是 $x + q$ ，面积里有 $1$ 块 $x^{2}$ 、 $p + q$ 条 $x$ 、 $pq$ 个小方块。凑对了，零件数目才正好对得上。

先猜后证

如果 $x^{2} + b x + 12$ 能分解成 $(x + p) (x + q)$ ，其中 $p$ 、 $q$ 都是正整数，那么 $b$ 一共有几种可能？

2

种

3

种

4

种

6

种

先选定答案，才能看到结论。

常数项是负数时，多一步判断：两个数必须一正一负。

第 1 / 5 步

这时首项也要拆。 $a x^{2} + b x + c = (m x + p) (n x + q)$ 需要 $mn = a$ 、 $pq = c$ ，而中间项是交叉相乘再相加：

m \cdot q + n \cdot p = b

所以同一组 $p$ 、 $q$ ，上下对调一下，结果就不一样了。在下面的机器里试试 $3 \times 1$ 和 $1 \times 3$ 的区别。

分解

2 x^{2} + 7 x + 3

。实线和虚线各连着哪两个数？

Break it

结论： $x^{2} + b x + c$ 能用整数十字相乘

$x^{2} + 7 x + 10$ ： $7^{2} - 4 \times 10 = 9 = 3^{2}$ ，是完全平方数。把拆法都点一遍，一定有一组能成。

练习 1基础

分解因式： $x^{2} + 9 x + 14$ 。

练习 2基础

分解因式： $x^{2} - 3 x - 28$ 。

练习 3提高

分解因式： $3 x^{2} - 10 x + 8$ 。

练习 4挑战

分解因式： $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ 。（要分解到不能再分为止。）