应用公式

这一招在做什么

把乘法公式倒过来读，就是分解公式：

a^{2} - b^{2} a^{2} \pm 2 ab + b^{2} a^{3} \pm b^{3} = (a + b) (a - b) = (a \pm b)^{2} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

上面的操作台演示的是第一个：边长 $a$ 的正方形挖去边长 $b$ 的一角，剩下的 L 形切一刀、转一块，正好是长 $a + b$ 、宽 $a - b$ 的长方形。面积没变，所以 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 。

数项数：两项想平方差、立方和、立方差；三项想完全平方。
认身份：谁是 $a$ ，谁是 $b$ ？ $4 x^{2}$ 是 $(2 x)^{2}$ ， $27$ 是 $3^{3}$ 。
套公式，然后检查每个因式还能不能再分。

先猜后证

不用竖式，心算 $5 1^{2} - 4 9^{2}$ 。

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍：平方差

例：分解 x² − 9

第 1 / 5 步

认出两个平方
$x^{2}$ 是 $x$ 的平方， $9$ 是 $3$ 的平方，中间是减号。图里用 $a$ 表示大正方形的边， $b$ 表示小正方形的边。

$x^{2} - 3^{2}$
挖去一角
切一刀
转过去，拼上
回到原题

完全平方

三项的式子，先看首尾两项是不是平方，再看中间项是不是它们乘积的两倍。

四块零件：一块

a^{2}

、两块

ab

、一块

b^{2}

。点“拼成正方形”。再点“拿走两块

ab

”，看看少了多少。

中间项是负的也一样，只是图要换个读法：从 $a^{2}$ 里减去两条 $ab$ ，右下角那一小块被减了两次，得补回来一块 $b^{2}$ 。

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

。依次点 1 → 4。

立方差与立方和

平方是面积，立方是体积。大立方体挖去一个小立方体，剩下的部分可以拆成三块一样厚的板。

a³ − b³ 拆成三块板

第 1 / 3 步

挖去一角
棱长 $a$ 的立方体，挖去棱长 $b$ 的一角（红色虚线）。剩下的体积是 $a^{3} - b^{3}$ 。可以用“转一转”换个角度看。

$a^{3} - b^{3}$
拆成三块
排成一排

立方和也能看见。把小立方体摞在大立方体上，再从大立方体上抽出一条搬到上面，就成了一根高 $a + b$ 的柱子：

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

。点 1 → 2 → 3；柱子的底面积为什么是

a^{2} - ab + b^{2}

？

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：能用平方差公式分解

$a^{2} - b^{2}$ ：L 形总能重新拼成一个长方形。

练一练

练习 1基础

分解因式： $4 x^{2} - 25$ 。

练习 2基础

分解因式： $x^{2} - 12 x + 36$ 。

练习 3提高

分解因式： $x^{3} + 27$ 。

练习 4挑战

分解因式： $x^{6} - 1$ 。（一共能分出四个因式。）

这一招在做什么

跟着做一遍：平方差

例：分解 x² − 9

完全平方

立方差与立方和

a³ − b³ 拆成三块板

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

和的平方 = 平方的和？

套一次公式就停

立方差公式的符号