提公因式 · 看得见的小蓝本

这一招在做什么

乘法分配律，倒过来用：

m a + m b + m c = m (a + b + c)

上面的操作台把每一项画成一块长方形的面积。公因式 $m$ 是它们共同的高。高相同的长方形，可以并排拼成一个大长方形：高是公因式，宽是括号里的和。

看系数：取各项系数的最大公因数。
看字母：取各项都有的字母，指数取最低的。
把它们的积提到括号外，括号里写每一项除以公因式的商。项数不变。

先猜后证

$4 x^{2} + 2 x$ 提出公因式 $2 x$ 之后，括号里有几项？

1

项

2

项

3

项

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍

例：分解 12x³ + 18x²

第 1 / 5 步

两块面积
把 $12 x^{3}$ 和 $18 x^{2}$ 各看成一块面积。还没提公因式时，高只是 $1$ ，两块又扁又长。

$12 x^{3} + 18 x^{2}$
先看系数
再看字母
拼起来
检查两件事

公因式也可以是一整个括号。比如

x (a - b) + y (a - b) = (a - b) (x + y) .

把 $(a - b)$ 当成一个字母 $m$ 来看，和上面完全一样。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：可以用提公因式法

$6 x^{2} + 9 x$ ：系数有公因数 $3$ ，字母都有 $x$ 。可提的东西很多。

练一练

练习 1基础

分解因式： $8 x^{3} + 12 x$ 。

练习 2基础

分解因式： $6 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$ 。

练习 3提高

分解因式： $6 a^{2} b - 9 a b^{2} + 3 ab$ 。

练习 4挑战

分解因式： $x (a - b) + y (b - a)$ 。

错误博物馆 · 本站展品

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展品

漏掉 1

3 x^{2} + 3 x = 3 x (x)

　或　

3 x^{2} + 3 x = 3 x \cdot x

错在哪里？先想一想，再打开

病因　第二项 $3 x$ 被整个提走，剩下的不是“没有”，而是 $3 x \div 3 x = 1$ 。漏掉它，乘回去只有 $3 x^{2}$ ，少了一项。

3 x^{2} + 3 x = 3 x (x + 1)

。原来有几项，括号里就有几项。

「整项被提走，原地留下 1」

展品

没提干净

12 x^{3} + 18 x^{2} = 6 x (2 x^{2} + 3 x)

错在哪里？先想一想，再打开

病因　括号里的 $2 x^{2}$ 和 $3 x$ 还有公因式 $x$ 。公因式要取最大的：系数取最大公因数，字母取最低次幂。

12 x^{3} + 18 x^{2} = 6 x^{2} (2 x + 3)

。写完再看一眼括号里：还有公因式吗？

「提完再看一眼括号里」

展品

提负号忘了变号

- 2 x^{2} + 4 x = - 2 x (x + 2)

错在哪里？先想一想，再打开

病因　提出 $- 2 x$ 相当于每一项都除以 $- 2 x$ ： $4 x \div (- 2 x) = - 2$ ，不是 $+ 2$ 。乘回去 $- 2 x \cdot 2 = - 4 x$ ，符号反了。

- 2 x^{2} + 4 x = - 2 x (x - 2)

。提出负号时，括号里每一项都要变号。

「提出负号，括号里各项全变号」