什么是因式分解

观察

因式分解：把一个多项式写成几个多项式的积，并且每个因式都不能再分。

和的样子 x^{2} - 1 = 积的样子 (x + 1) (x - 1)

从右往左是整式乘法，你早就会了。从左往右才是因式分解——它是乘法的“倒放”，所以每次分解完，乘回去就能检查。

先猜后证

下面两个变形，哪个是因式分解？甲： $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ 　乙： $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$

只有甲只有乙甲和乙都是都不是

先选定答案，才能看到结论。

为什么要“分到不能再分”？看整数就明白了。

第 1 / 6 步

分到底有什么用？约分、解方程、判断整除，全都靠它。比如要解 $x^{4} - 1 = 0$ ，一旦写成 $(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) = 0$ ，立刻看出 $x = 1$ 或 $x = - 1$ 。

“不能再分”这句话，其实藏着一个条件：系数允许是哪些数。本卷前面各章默认只用有理数。

Break it

结论： $x^{2} - 2$ 不能再分

在有理数范围内， $x^{2} - 2$ 就是一片打 ✓ 的叶子。点一下试试。

练习 1基础

把 $84$ 分解成素数的积。一共有几个素因数？（重复的也要数。）

练习 2基础

分解因式： $x^{2} - 9$ 。

练习 3提高

分解因式： $x^{4} - 16$ 。（要分到不能再分。）

练习 4挑战

已知 $x^{2} + m x - 15 = (x + 3) (x + n)$ ，求 $m$ 的值。