面积法

一句话

面积是图形的一个数，不管你怎么算，它都不会变。面积法就靠这一点，做两件事：

算两次。同一块图形，换一组底和高再算一遍，两次的结果之间画等号，就得到一个关于线段的等式。
把线段比换成面积比。高相同的两个三角形，面积比等于底的比。线段的比不好抓，面积的比却可以加、可以减、可以换着算。

\frac{1}{2} \times 底_{1} \times 高_{1} = S = \frac{1}{2} \times 底_{2} \times 高_{2}

先猜后证

直角三角形的两条直角边是 $3$ 和 $4$ ，斜边是 $5$ 。斜边上的高是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 算两次：斜边上的高（卷四 · 直角三角形）

直角三角形的两条直角边是 $8$ 和 $6$ 。斜边上的高是多少？

例：直角边 8 和 6

第 1 / 4 步

第一种算法
两条直角边互相垂直，一条当底，另一条就是高。

$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$
第二种算法
画等号
一般的结论

第 2 站 · 算两次：三个距离的和（卷四 · 三角形的面积）

$P$ 是边长为 $6$ 的等边三角形内的任意一点。 $P$ 到三条边的距离之和是多少？

先猜后证

把 $P$ 从三角形的中心拖到靠近一个顶点的地方，三个距离的和会怎样？

变大变小不变

先选定答案，才能看到结论。

例：等边三角形内一点到三边的距离

第 1 / 4 步

三条垂线段
从 $P$ 向三边作垂线，长度记作 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 、 $d_{3}$ 。它们朝着三个方向，没法直接相加。

$d_{1} + d_{2} + d_{3} = ?$
切成三块
整块再算一次
约掉公共的底

这里用到“等边”的地方只有一处：三条底相等，才能约掉。

第 3 站 · 线段比换成面积比（卷四 · 比例线段定理）

$△ A B C$ 中 $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $B C = 8$ ， $A D$ 平分 $∠ A$ 交 $B C$ 于 $D$ 。求 $B D$ 。

例：角平分线把对边分成什么比

第 1 / 4 步

先看任意的 D
$△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的底 $B D$ 、 $D C$ 在同一条直线上，高是同一条。所以面积比等于底的比。这对 $B C$ 上任何一点 $D$ 都成立。

$\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{B D}{D C}$
把 D 放到角平分线上
换一组底和高，再算一次
两次的结果相等

在上面的图里再点“△ABP : △ACP”，拖动 $A D$ 上的 $P$ ：这个比也始终等于 $B D : D C$ 。两个三角形只共用一条边 $A P$ ，面积比却被对边上的 $D$ 决定——这叫共边定理，是面积法里最常用的一件工具。

第 4 站 · 把乘积看成面积（卷一 · 应用公式）

$a^{2} - b^{2}$ 为什么等于 $(a + b) (a - b)$ ？把每一项都看成一块面积。

例：5² − 2² = 7 × 3

第 1 / 4 步

大正方形挖去小正方形
边长 $a$ 的正方形，右上角挖掉一个边长 $b$ 的小正方形。剩下的面积是 $a^{2} - b^{2}$ 。

$a^{2} - b^{2} = 25 - 4 = 21$
切一刀
搬过去拼上
面积没有变

练一练

练习 1基础

直角三角形的两条直角边是 $5$ 和 $12$ 。斜边上的高是多少？（可以填分数。）

练习 2提高

$△ A B C$ 中 $A B = 9$ ， $A C = 6$ ， $B C = 10$ 。 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于 $D$ 。求 $B D$ 。

练习 3挑战

$△ A B C$ 中， $D$ 在 $B C$ 上， $B D : D C = 2 : 3$ 。 $P$ 是线段 $A D$ 上的一点， $△ A B P$ 的面积是 $8$ 。 $△ A C P$ 的面积是多少？

一句话

第 1 站 · 算两次：斜边上的高（卷四 · 直角三角形）

例：直角边 8 和 6

第 2 站 · 算两次：三个距离的和（卷四 · 三角形的面积）

例：等边三角形内一点到三边的距离

第 3 站 · 线段比换成面积比（卷四 · 比例线段定理）

例：角平分线把对边分成什么比

第 4 站 · 把乘积看成面积（卷一 · 应用公式）

例：5² − 2² = 7 × 3

练一练

错误博物馆 · 本站展品

底和高没有配对

面积比随手写成边的比

这条线路经过的站