三角形中与比例线段有关的几个定理

观察

随便拖动 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ：三条线 $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 一般围出一个红色小三角形，乘积仪表也不在 $1$ 上。
点“移动 $F$ ，让 $C F$ 过交点”：小三角形缩成一个点，仪表正好指在 $1$ 。再拖动顶点 $A$ 改变三角形的形状——乘积一动不动。
点“三条中线”：三个比都是 $1$ ，乘积当然是 $1$ 。所以三条中线交于一点。
点“三条角平分线”“三条高”：三个比各不相同，乘起来却还是 $1$ 。

塞瓦定理： $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 上，则

A D, B E, C F 共点 ⟺ \frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1.

先猜后证

已知 $B D : D C = 2 : 1$ ， $C E : E A = 3 : 1$ 。要让 $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 交于一点， $\frac{A F}{F B}$ 应该等于多少？

6

\frac{3}{2}

\frac{1}{6}

\frac{2}{3}

先选定答案，才能看到结论。

为什么：还是面积法

塞瓦定理的证明（共点 ⇒ 乘积为 1）

第 1 / 5 步

设三线交于 P
$A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 交于一点 $P$ 。 $P$ 和三个顶点连成三个小三角形： $△ P B C$ 、 $△ P C A$ 、 $△ P A B$ 。
第一个比
第二个比
第三个比
乘起来

角平分线定理

$A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D$ 在 $B C$ 上，则 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ ：角平分线把对边分成的两段，和两条邻边成比例。

拖动

D

，让两个角相等。这时

B D : D C

和

A B : A C

呢？再拖动

A

试试别的三角形。

证明只要两行。 $D$ 在角平分线上，所以 $D$ 到 $A B$ 、 $A C$ 的距离相等，记作 $h$ 。把 $△ A B D$ 、 $△ A C D$ 的面积用两种方法各算一次：

\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot h}{\frac{1}{2} A C \cdot h} = \frac{A B}{A C} (以 A B 、 A C 为底，高都是 h),

\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{B D}{D C} (以 A 为顶点，等高) .

两个式子的左边相同，所以 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ 。

梅涅劳斯定理

一条直线与 $△ A B C$ 三边所在直线分别交于 $F$ （在 $A B$ 上）、 $E$ （在 $C A$ 上）、 $D$ （在 $B C$ 的延长线上），则同样有

\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1.

拖动

E

、

F

让紫色直线转动，

D

跟着跑。乘积变过吗？

证明思路：过 $C$ 作 $A B$ 的平行线交直线 $F D$ 于 $G$ ，出现两对相似三角形， $\frac{B D}{D C} = \frac{F B}{C G}$ ， $\frac{C E}{E A} = \frac{C G}{A F}$ ，代进去 $C G$ 约掉。你也可以用共边定理，取直线上两点做公共边。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $\frac{A F}{F B} \cdot \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$

$D$ 被锁在直线 $F E$ 上。

练一练

练习 1基础

$△ A B C$ 中 $A B = 6$ ， $A C = 9$ ， $B C = 10$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ 。求 $B D$ 的长。

练习 2基础

$D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 上， $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 交于一点。已知 $B D : D C = 1 : 2$ ， $C E : E A = 3 : 2$ ，求 $\frac{A F}{F B}$ 的值。

练习 3提高

一条直线分别交 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 于 $F$ 、 $E$ ，交 $B C$ 的延长线于 $D$ 。已知 $A F : F B = 2 : 1$ ， $C E : E A = 1 : 3$ ，求 $\frac{B D}{D C}$ 的值。

练习 4挑战

$A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $E$ 是 $A D$ 的中点，直线 $B E$ 交 $A C$ 于 $F$ 。求 $\frac{A F}{F C}$ 的值。

三角形中与比例线段有关的几个定理

观察

为什么：还是面积法

塞瓦定理的证明（共点 ⇒ 乘积为 1）

角平分线定理

梅涅劳斯定理

如果去掉一个条件

反例实验室：去掉一个条件

练一练

错误博物馆 · 本站展品

乘积等于 1，就说三点共线

三个比没有“首尾相接”