构造相似

一句话

全等三角形告诉你“这两条线段相等”。相似三角形告诉你“这四条线段成比例”：

△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'} ⟹ \frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{C A}{C ^{'} A ^{'}}

所以看到比例式、乘积式，就去找一对相似三角形，让那四条线段恰好是它们的对应边。小窍门：把 $ab = c d$ 改写成 $\frac{a}{c} = \frac{d}{b}$ ，分子上的两条线段的端点凑一个三角形，分母上的两条凑另一个。

图里没有现成的？那就造。最常用的四种造法，正好是下面四站：作平行线、作高、借圆搬角、作一个等角。

先猜后证

$D E ∥ B C$ ， $D$ 在 $A B$ 上， $A D : D B = 2 : 3$ 。 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的面积比是多少？

2 : 3

2 : 5

4 : 9

4 : 25

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 作平行线（卷四 · 相似三角形）

$△ A B C$ 中， $D$ 在 $A B$ 上， $A D = 3$ ， $D B = 2$ 。过 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $E$ 。已知 $B C = 10$ ，求 $D E$ 。

例：A 字型和 8 字型

第 1 / 4 步

平行线送来等角
$D E ∥ B C$ ，同位角相等： $∠ A D E = ∠ A B C$ 。再加上公共的 $∠ A$ ，两个三角形相似。这个形状像字母 A。

$△ A D E \sim △ A B C$
相似比
求 DE
翻到另一侧

以后遇到“线段比不在一个三角形里”，就过分点作一条平行线，造出 A 字或 8 字。

第 2 站 · 作高（卷四 · 比例线段定理）

直角 $△ A B C$ 中 $∠ C = 9 0^{\circ}$ ， $C D$ 是斜边上的高， $A D = 2$ ， $D B = 8$ 。求 $C D$ 和 $A C$ 。

例：斜边上的高分出三个相似三角形

第 1 / 4 步

一条高，三个直角三角形
高 $C D$ 把大直角三角形分成两个小直角三角形。图里一共有三个直角三角形。

$A D = 2, D B = 8, C D = ?$
左右两个相似
高的平方
小的和整个也相似

$C D^{2} = A D \cdot D B$ 、 $A C^{2} = A D \cdot A B$ 、 $B C^{2} = B D \cdot A B$ ——这三条合称射影定理。不用背，画出高，认出相似就有了。

第 3 站 · 借圆搬角（卷五 · 圆幂定理）

从圆外一点 $P$ 引两条割线，一条交圆于 $A$ 、 $B$ ，另一条交圆于 $C$ 、 $D$ 。 $P A = 4$ ， $A B = 5$ ， $P C = 3$ 。求 $C D$ 。

例：两条割线

第 1 / 4 步

四条线段，一个乘积式
想证 $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ ，也就是 $\frac{P A}{P D} = \frac{P C}{P B}$ 。分子 $P A$ 、 $P C$ 凑成 $△ P A C$ ，分母 $P D$ 、 $P B$ 凑成 $△ P D B$ 。

$P A = 4, P B = 9, P C = 3, P D = ?$
圆送来一对等角
写比例，交叉相乘
结果，以及极限位置

第 4 站 · 作一个等角（卷五 · 托勒密定理）

圆内接四边形 $A B C D$ 中，求证： $A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D$ 。

两个乘积相加，一对相似三角形装不下。那就把 $B D$ 切成两段，造两对。

例：托勒密定理的证明

第 1 / 4 步

把右边拆开
在 $B D$ 上取一点 $E$ ，那么 $A C \cdot B D = A C \cdot B E + A C \cdot E D$ 。希望前一项等于 $A B \cdot C D$ ，后一项等于 $A D \cdot B C$ 。

$A B \cdot C D + A D \cdot B C = ? A C \cdot B D$
作一个等角
第二对不请自来
相加

练一练

练习 1基础

$△ A B C$ 中， $D$ 在 $A B$ 上， $E$ 在 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ 。 $A D = 4$ ， $D B = 6$ ， $B C = 15$ 。求 $D E$ 。

练习 2提高

直角 $△ A B C$ 中 $∠ C = 9 0^{\circ}$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ， $A D = 9$ ， $D B = 16$ 。求 $A C$ 。

练习 3挑战

梯形 $A B C D$ 中 $A D ∥ B C$ ， $A D = 4$ ， $B C = 6$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于 $O$ 。已知 $△ A O D$ 的面积是 $8$ ，求梯形 $A B C D$ 的面积。

一句话

第 1 站 · 作平行线（卷四 · 相似三角形）

例：A 字型和 8 字型

第 2 站 · 作高（卷四 · 比例线段定理）

例：斜边上的高分出三个相似三角形

第 3 站 · 借圆搬角（卷五 · 圆幂定理）

例：两条割线

第 4 站 · 作一个等角（卷五 · 托勒密定理）

例：托勒密定理的证明

练一练

错误博物馆 · 本站展品

把“一段”当成“整条边”

面积比忘了平方

这条线路经过的站