圆幂定理

观察

不管直线怎么转，

P A \cdot P B = O P^{2} - r^{2}

右边只和 $P$ 的位置有关。课本上的三个定理只是 $P$ 的位置不同：

先猜后证

$P$ 在圆外，一条割线交圆于 $A$ 、 $B$ ， $P A = 2$ ， $P B = 8$ 。从 $P$ 引圆的切线，切线长是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 6 步

两条直线
过 $P$ 作两条直线，一条依次交圆于 $A$ 、 $B$ ，另一条依次交圆于 $C$ 、 $D$ 。要证两个乘积相等。

$P A \cdot P B = P C \cdot P D ?$
连出两个三角形
找两组等角
写比例，交叉相乘
P 在圆内也一样
乘积到底是多少

$O P^{2} - r^{2}$ 这个数叫做点 $P$ 对圆的幂。 $P$ 在圆外时它是正的，等于切线长的平方； $P$ 在圆上时是 $0$ ； $P$ 在圆内时是负的，绝对值等于 $P A \cdot P B$ 。下一站会把它当作一个真正的“量”来用。

练习 1基础

圆的两条弦 $A B$ 、 $C D$ 交于 $P$ ， $P A = 3$ ， $P B = 8$ ， $P C = 4$ 。求 $P D$ 。

练习 2基础

$P T$ 切圆于 $T$ ，过 $P$ 的一条割线依次交圆于 $A$ 、 $B$ ， $P A = 4$ ， $A B = 5$ 。求 $P T$ 。

练习 3提高

圆 $O$ 的半径是 $5$ ，点 $P$ 在圆内， $O P = 3$ 。弦 $A B$ 经过 $P$ ， $P A = 2$ 。求 $P B$ 。

练习 4挑战

$P T$ 切圆 $O$ 于 $T$ ， $P T = 6$ 。直线 $P O$ 交圆于 $A$ 、 $B$ （ $A$ 离 $P$ 近）， $P A = 4$ 。求圆的半径。