圆的幂及应用

这一招在做什么

上一站发现： $P A \cdot P B$ 只和点 $P$ 的位置有关。把这个只和位置有关的数单独拿出来，叫做 $P$ 对圆 $O$ 的幂：

幂 = O P^{2} - r^{2}

$P$ 在圆外，幂是正的，等于切线长的平方。 $P$ 在圆上，幂是 $0$ 。 $P$ 在圆内，幂是负的。

有了它，处理“两个圆”“三个圆”的题目就有了固定的三步：

先猜后证

两个圆相交于 $A$ 、 $B$ 两点。它们的根轴是哪条直线？

连心线

O_{1} O_{2}

公共弦

A B

所在的直线线段

O_{1} O_{2}

的垂直平分线两圆的一条公切线

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

随便取一点
$P$ 对两个圆的幂一般不相等。我们要找出所有让它们相等的 $P$ 。

$P O_{1}^{2} - r_{1}^{2} = P O_{2}^{2} - r_{2}^{2} ?$
移项
作垂线，用勾股定理
垂足被钉死了
这条垂线就是根轴

三个圆有三条根轴。设前两条交于 $P$ ： $P$ 对圆 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 的幂相等，对圆 $O_{2}$ 、 $O_{3}$ 的幂也相等，所以对圆 $O_{1}$ 、 $O_{3}$ 的幂也相等—— $P$ 自动落在第三条根轴上。

拖动三个圆心，或者改变半径。三条根轴的交点会散开吗？

这个“传递”的小论证很有用：要证三条直线共点，可以试着把它们看成三个圆两两的根轴。

Break it

结论：三条根轴交于一点

圆心围成三角形时，三条根轴总有一个公共点。

练习 1基础

圆 $O$ 的半径是 $3$ ， $O P = 5$ 。求点 $P$ 对圆 $O$ 的幂。

练习 2基础

圆 $O$ 的半径是 $5$ ，点 $P$ 在圆内， $O P = 3$ 。求点 $P$ 对圆 $O$ 的幂。

练习 3提高

圆 $O_{1}$ 的半径是 $5$ ，圆 $O_{2}$ 的半径是 $3$ ， $O_{1} O_{2} = 10$ 。两圆的根轴交连心线于 $H$ 。求 $O_{1} H$ 的长。

练习 4挑战

两个圆相交于 $A$ 、 $B$ 。一条公切线分别切两圆于 $S$ 、 $T$ 。直线 $A B$ 交线段 $S T$ 于 $M$ 。求证： $M$ 是 $S T$ 的中点。