- 第 1 章圆、扇形、弓形的周长和面积阴影面积不一定要硬算——把一块搬个地方，常常就拼成了一个整图形。
- 第 2 章圆的对称性沿任何一条直径对折，圆都和自己重合——垂径定理就是这一折的结果。
- 第 3 章与圆有关的角顶点在圆上跑，角却不变；跨过弦，它变成补角；圆心角永远是它的两倍。
- 第 4 章与圆相关的位置关系位置关系看起来是图形的事，其实只是在比较两个数：距离 d 和半径。
- 第 5 章圆的切线切线是两个交点并成一个的割线；并拢的那一刻，它恰好垂直于半径。
- 第 6 章四点共圆证出四个点在同一个圆上，圆里所有“相等的角”就都能拿来用了。
- 第 7 章圆幂定理过定点任作直线交圆于两点，两段长度的乘积不变——相交弦、割线、切割线是同一个定理。
- 第 8 章圆的幂及应用给每个点配一个数 OP² − r²。对两个圆的幂相等的点排成一条直线：根轴。
- 第 9 章托勒密定理及其应用任意四点都有“对边乘积之和 ≥ 对角线乘积”，等号恰好在四点共圆时成立。
- 第 10 章三角形的外心与内心外心管三个顶点，内心管三条边；连接它们的是“鸡爪”和欧拉公式。
- 第 11 章与圆有关的杂题综合题不考新定理，考的是认出图里藏着哪一个不变量：等角、等积，还是等长。