与圆相关的位置关系

观察

两个圆的位置关系一共五种，全由圆心距 $d$ 落在数轴的哪一段决定：

位置关系	外离	外切	相交	内切	内含
$d$ 与半径	$d > R + r$	$d = R + r$	$R - r < d < R + r$	$d = R - r$	$d < R - r$
公共点	$0$	$1$	$2$	$1$	$0$

先猜后证

两个圆的半径是 $5$ 和 $3$ ，圆心距是 $2$ 。它们是什么位置关系？

外切相交内切内含

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

道理完全一样，只是数轴上的分界点只剩一个：半径 $r$ 。

点和圆：点到圆心的距离 $d$ 。 $d < r$ 在圆内， $d = r$ 在圆上， $d > r$ 在圆外。
直线和圆：圆心到直线的距离 $d$ 。 $d < r$ 相交（ $2$ 个公共点）， $d = r$ 相切（ $1$ 个）， $d > r$ 相离（ $0$ 个）。

左右拖动直线。它和圆只有一个公共点的位置有几个？

直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线。下一站专门讲它。

练习 1基础

圆的半径是 $4$ ，圆心到直线 $l$ 的距离也是 $4$ 。直线 $l$ 和圆有几个公共点？

练习 2基础

两个圆的半径分别是 $7$ 和 $2$ ，它们相切。圆心距可能是多少？（写出所有可能，用逗号隔开。）

练习 3提高

两个圆的半径分别是 $3$ 和 $5$ ，圆心距 $d$ 是整数，并且两圆相交。 $d$ 有多少个可能的值？

练习 4挑战

三个圆的半径分别是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ ，它们两两外切。求以三个圆心为顶点的三角形的面积。