与圆有关的角 · 看得见的小蓝本

观察

让 $P$ 一直待在弦 $A B$ 的上方，从左拖到右。 $∠ A P B$ 的读数变了吗？
把 $P$ 拖过 $A$ 或 $B$ ，到弦的另一侧去。新读数和原来的读数加起来是多少？
蓝色的是圆心角 $∠ A O B$ ，它对着同一条弧。它和红色读数是什么关系？拖 $A$ 、 $B$ 改变弦，这个关系还在吗？
拖 $A$ 、 $B$ ，让弦 $A B$ 经过圆心 $O$ 。这时圆周角是多少度？

顶点在圆上、两边都和圆相交的角叫圆周角。上面四条观察合起来就是：

∠ A P B = \frac{1}{2} ∠ A O B

这里的 $∠ A O B$ 指 $∠ A P B$ 所对的那条弧的度数。弧不变，圆周角就不变。

先猜后证

弦 $A B$ 固定。 $P$ 在优弧上时 $∠ A P B = 5 0^{\circ}$ 。把 $P$ 拖到劣弧上， $∠ A P B$ 是多少度？

先选定答案，才能看到结论。

为什么

关键只有一句话：半径都相等，所以圆心和圆上两点总能连出等腰三角形。

证明：圆周角等于圆心角的一半

第 1 / 6 步

要证什么
$P$ 在圆上，要证 $∠ A P B = \frac{1}{2} ∠ A O B$ 。图上现在是 $6 5^{\circ}$ 和 $13 0^{\circ}$ ，但我们要的是对任何位置都成立的理由。

$∠ A P B = \frac{1}{2} ∠ A O B ?$
添一条直径
左边：等腰三角形
右边一样，加起来
圆心跑到角的外面
结论

如果顶点离开圆

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $∠ A P B$ 等于弧 $A B$ 的一半

顶点在圆上时，无论怎么拖，角都是弧的一半。

练一练

练习 1基础

圆 $O$ 中，劣弧 $A B$ 所对的圆心角 $∠ A O B = 11 0^{\circ}$ ，点 $P$ 在优弧 $A B$ 上。求 $∠ A P B$ 的度数。

练习 2基础

$A B$ 是圆的直径， $C$ 是圆上一点， $∠ C A B = 3 8^{\circ}$ 。求 $∠ C B A$ 的度数。

练习 3提高

圆的半径是 $2$ ，弦 $A B = 22$ 。弦 $A B$ 所对的圆周角可能是多少度？（把所有可能都写出来，用逗号隔开。）

练习 4挑战

圆上依次有四点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 。弦 $A C$ 与 $B D$ 交于圆内一点 $E$ 。已知弧 $A B$ 是 $7 0^{\circ}$ ，弧 $C D$ 是 $5 0^{\circ}$ 。求 $∠ A E B$ 的度数。

错误博物馆 · 本站展品

离站之前，看看别人在这里踩过的坑。去博物馆看全部展品 →

展品

一条弦只对着一个圆周角

圆的半径是

4

，弦

A B = 4

，所以弦

A B

所对的圆周角是

3 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　弦 $A B$ 把圆分成两条弧。顶点在优弧上时圆周角是 $3 0^{\circ}$ ，顶点在劣弧上时是 $15 0^{\circ}$ 。题目说的是“弦所对的圆周角”，没有说顶点在哪一侧，两个都要算。

先求圆心角：

△ O A B

是等边三角形，

∠ A O B = 6 0^{\circ}

。优弧上的圆周角是

3 0^{\circ}

，劣弧上的是

18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

。答案是

3 0^{\circ}

或

15 0^{\circ}

。

「说“弧所对的角”只有一个，说“弦所对的角”有两个」

展品

顶点不在圆上，也当圆周角算

两条弦

A C

、

B D

交于圆内一点

E

，弧

A B

是

8 0^{\circ}

，所以

∠ A E B = 4 0^{\circ}

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　“等于所对弧的一半”只对顶点在圆上的角成立。 $E$ 在圆内， $∠ A E B$ 比 $4 0^{\circ}$ 大——它还要加上对面那条弧 $C D$ 的一半。

连

B C

。

∠ A E B

是

△ E B C

的外角，等于

∠ A C B + ∠ D B C

，也就是弧

A B

的一半加弧

C D

的一半。

「先看顶点在圆上、圆内还是圆外，再选公式」