观察
- 把滑块拖到 。红色的半个圆翻过去之后，点 落在哪个点上？
- 回到 ，拖动 或 。紫色直径 跟着转。 和 两个读数什么时候不相等？
- 看“弧 与弧 ”。直径除了平分弦，还平分了什么？
- 把弦往圆心方向挪（让 、 都往下）。弦心距 变小时，弦变长还是变短？最长是多长？
圆有两种对称：
- 轴对称：每一条直径所在的直线都是对称轴，所以对称轴有无数条。
- 旋转对称：绕圆心转任意角度都和自己重合。所以相等的圆心角对着相等的弧、相等的弦。
把第一种对称用在一条弦上，就得到垂径定理：
先猜后证
圆的半径是 ，一条弦到圆心的距离是 。这条弦有多长？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
连一条半径到弦的端点，就有一个直角三角形：斜边是半径 ，一条直角边是弦心距 ，另一条是半条弦。
所以弦长是 。最常见的错误是答 ——忘了乘 。
半径 、弦心距 、半弦长 永远满足 。知道其中两个，就能求第三个。
为什么
证明：垂直于弦的直径平分这条弦
第 1 / 6 步- 已知和要证
是直径，，垂足是 。要证 。
如果直径不垂直于弦
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论： 平分弦 ← 还成立吗？
垂直的时候，怎么拖 、，四个指示灯都是 ✓。
现在直径歪了 ，不再垂直于弦。先看读数，再把滑块拖到 对折一次。
翻过去之后仍然落在圆上（圆沿任何直径对折都重合），但落点不是 。于是 ，两条弧也不相等。
只有一种情况例外：把 、 拖成一条直径。这时任何直径都平分它，却不一定垂直于它——这正是垂径定理的逆定理要写上“弦不是直径”的原因。
练一练
圆的半径是 ，弦 到圆心的距离是 。求 的长。
提示 · 方向
作出弦心距，连一条半径，找直角三角形。
提示 · 方法
半径、弦心距、半弦长满足勾股定理。
提示 · 第一步
半弦长 。
完整解答
。
圆的一条弦长 ，圆心到这条弦的距离是 。求圆的半径。
提示 · 方向
弦心距把弦分成了怎样的两段？
提示 · 方法
半弦长是 。它和弦心距是直角三角形的两条直角边，半径是斜边。
提示 · 第一步
。
完整解答
，。
圆的半径是 。弦 ，弦 ，并且 。两条弦之间的距离可能是多少？（写出所有可能，用逗号隔开。）
提示 · 方向
两条平行弦和圆心的位置关系，只有一种画法吗？
提示 · 方法
分别求两条弦的弦心距。两条弦在圆心同侧时相减，在两侧时相加。
提示 · 第一步
的弦心距是 ， 的弦心距是 。
完整解答
同侧：。两侧：。答案是 或 。
圆 的半径是 ，点 在圆内，。经过 的弦中，长度是整数的一共有多少条？
提示 · 方向
过 的弦，最长的是哪一条？最短的呢？
提示 · 方法
最长的是过 的直径。最短的是垂直于 的那条——弦心距最大时弦最短。长度在两者之间的每个值，各有几条弦？
提示 · 第一步
最长 ；最短 。所以整数长度只能是 、、。
完整解答
长 的只有 条（垂直于 ），长 的只有 条（直径）。长 的有 条，它们关于直线 对称。一共 条。