圆、扇形、弓形的周长和面积

观察

平移、旋转、翻折都不改变面积。所以求阴影面积时，先问一句：能不能把零碎的几块搬到一起，拼成一个认识的图形？这叫割补。

半径为 $r$ 的圆，周长 $C = 2 π r$ ，面积 $S = π r^{2}$ 。圆心角为 $n^{\circ}$ 的扇形占整个圆的 $\frac{n}{360}$ ，所以

l = \frac{nπ r}{180} S_{扇形} = \frac{nπ r ^{2}}{360} = \frac{1}{2} l r

弓形是弦和弧围成的图形。它没有自己的公式，要靠扇形和三角形拼出来。

拖动

B

改变圆心角。圆心角超过

18 0^{\circ}

时，弓形和三角形是什么关系？

先猜后证

半径不变，圆心角从 $6 0^{\circ}$ 变成 $12 0^{\circ}$ 。弓形的面积变成原来的多少？

正好

2

倍不到

2

倍比

2

倍多得多

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

看清阴影
半圆的直径是 $A B$ ，半径 $O A = O B = 2$ ， $M$ 是半圆弧的中点。阴影有两块：弦 $A M$ 上的弓形，和三角形 $O M B$ 。
硬算也行
发现全等
转过去
对一下答案

练习 1基础

扇形的半径是 $6$ ，圆心角是 $6 0^{\circ}$ 。它的弧长是 $k π$ ，求 $k$ 。

练习 2基础

扇形的弧长是 $4 π$ ，半径是 $6$ 。它的面积是 $k π$ ，求 $k$ 。

练习 3提高

大圆的圆心是 $O$ ，半径是 $4$ ， $A B$ 是一条水平的直径。分别以 $O A$ 、 $O B$ 为直径画两个小圆。阴影由两部分组成：大圆上半部分里、两个小圆外面的区域；以及两个小圆的下半部分。阴影面积是 $k π$ ，求 $k$ 。

练习 4挑战

半径为 $2$ 的圆中，一条弦所对的圆心角是 $9 0^{\circ}$ 。这条弦把圆分成一大一小两个弓形。大弓形的面积减去小弓形的面积等于 $k π + 4$ ，求 $k$ 。