一句话
平移、旋转、翻折有一个共同点：图形搬了家，但没有变形。每条线段还是原来那么长，每个角还是原来那么大。
所以，当题目的条件散在图形的各个角落——要相加的两条线段隔得老远，要比较的三条线段凑不成一个三角形——就把其中一块原样搬过去，让它们碰头。
- 翻折：把直线一侧的点搬到另一侧。折线就能拉直。
- 旋转：绕着“共顶点的等长线段”的那个顶点转。一条边会落到另一条边上。
- 平移：沿着一组平行线滑过去。两条不相连的线段就首尾相接。
先猜后证
上面的图里， 到直线 的距离是 ， 到 的距离是 。让 最短的点 在哪里？
把 翻折到 之后，最短的 就是 与 的交点。 在 下方 ， 在 上方 ，所以交点把两个垂足之间的线段分成 ——离“矮”的那个点更近。下面一步一步看。
第 1 站 · 翻折：把折线拉直（卷四 · 内接三角形）
、 在直线 的同侧， 在 上。 最小是多少？
例：直线同侧两点，折线最短
第 1 / 4 步- 折线不好比
和 是一条折线的两段。 一动，两段一长一短，看不出什么时候和最小。
三角形的“光路”问题、台球反弹、内接三角形周长最短，都是这一招：翻折一次，折线少一个弯。
第 2 站 · 旋转 60°：等边三角形（卷四 · 等边三角形）
是等边 内一点，，，。求 。
，一定藏着一个直角。可是 、、 像三根散开的筷子，凑不成三角形。
例：PA = 5，PB = 12，PC = 13
第 1 / 5 步- 找等长的边
等边三角形里 ，夹角 。所以绕 转 ， 正好落到 上。
第 3 站 · 旋转 90°：正方形里的半角（卷四 · 正方形）
正方形 的边长是 。 在 上， 在 上，，。求 。
先猜后证
先拖一拖下面图里的 ，看读数。 和 是什么关系？
总是相等。 恰好是 的一半——这种“半角”就是旋转的信号。
例：正方形边长 6，BE = 2，∠EAF = 45°
第 1 / 5 步- 三条线段各在一处
在下边， 在右边， 斜在中间。想证 ，得先把 、 接成一条线段。
第 4 站 · 平移：让对角线首尾相接（卷四 · 全等三角形）
梯形 中 ，对角线 ，，。求上、下底的和，以及梯形的面积。
例：对角线互相垂直的梯形
第 1 / 4 步- 条件够不着
面积公式要“上底 + 下底”和高，一个都没给。给的是两条交叉的对角线。
拖动图里的 ：对角线不再垂直了，但“梯形面积 = 面积”仍然成立。平移搬走的是面积和长度，不依赖那个直角。
练一练
、 两点在直线 的同侧，到 的距离分别是 和 ，两个垂足相距 。 在 上， 的最小值是多少？
正方形 的边长是 。 在 上， 在 上，，。求 。
是等边 内一点，，，。 是多少度？（只填数字。）