正方形

观察

正方形既是矩形又是菱形：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等、垂直、互相平分。它绕中心旋转 $9 0^{\circ}$ 与自身重合；绕一个顶点旋转 $9 0^{\circ}$ ，一条边正好落到相邻的边上。

拖动 $E$ 、 $F$ 。一般情况下 $E F$ 和 $B E + D F$ 并不相等。
点“移动 $F$ ，使 $∠ E A F = 4 5^{\circ}$ ”：两个读数相等了。再拖动 $E$ 到别处、再点一次——还是相等。
这时看最后一块读数： $△ C E F$ 的周长正好是 $10$ ，也就是正方形边长的 $2$ 倍，和 $E$ 的位置无关。
把“旋转”滑块拖到 $9 0^{\circ}$ ：蓝色的 $△ A D F$ 绕 $A$ 转到了 $△ A B G$ 的位置， $D F$ 变成了 $B G$ ，和 $B E$ 接成一条线段 $GE$ 。

先猜后证

正方形 $A B C D$ 的边长是 $5$ ， $E$ 在 $B C$ 上， $F$ 在 $C D$ 上， $∠ E A F = 4 5^{\circ}$ 。 $△ C E F$ 的周长是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 5 步

两条线段不挨着
要证 $E F = B E + D F$ 。 $B E$ （橙）和 $D F$ （蓝）分在正方形的两条边上，没法直接相加。

$E F = ? B E + D F$
把 △ADF 绕 A 顺时针旋转
转满 90°
找全等
读结论

这个办法（常叫“半角模型”）的要点：有公共端点的两条相等线段（这里是 $A D = A B$ ）是旋转的信号，旋转角就是它们的夹角。正方形处处是这样的线段，所以正方形的题目特别适合旋转。

Break it

结论： $E F = B E + D F$

$F$ 自动跟着 $E$ 走，保持 $∠ E A F = 4 5^{\circ}$ 。把旋转滑块拖到 $9 0^{\circ}$ ，再拖动 $E$ ： $∠ G A E$ 也一直是 $4 5^{\circ}$ 。

练习 1基础

正方形的对角线长为 $6$ ，求它的面积。

练习 2提高

正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $E$ 在 $B C$ 上， $B E = 1$ ； $F$ 在 $C D$ 上， $∠ E A F = 4 5^{\circ}$ 。求 $E F$ 的长。

练习 3提高

在正方形 $A B C D$ 的内部作等边三角形 $A B E$ 。求 $∠ D E C$ 的度数。

练习 4挑战

正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $E$ 在 $B C$ 上， $B E = 2$ ； $F$ 在 $C D$ 上， $∠ E A F = 4 5^{\circ}$ 。求 $△ A E F$ 的面积。