观察
矩形：有一个角是直角的平行四边形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形。
- 点“帮我对齐成：矩形”。看对角线读数：两条对角线相等了。再拖一下 破坏直角，“相等”立刻消失。
- 点“菱形”：四条边相等，对角线互相垂直，但一般不相等。
- 矩形时点开“内角”：四个角都是 。菱形时：对角相等，但一般不是直角；再点开“边长”，四条边一样长。
- 点“正方形”：矩形和菱形的牌子同时亮着，对角线既相等又垂直。
先猜后证
一个四边形的两条对角线相等。它一定是矩形吗？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
不一定。对角线相等、但不互相平分的四边形多得很，比如等腰梯形。
如果再加上“互相平分”（那它就是平行四边形），才一定是矩形。
为什么：全写在对角线上
从平行四边形到矩形、菱形、正方形
第 1 / 4 步- 起点：平行四边形
对角线互相平分，仅此而已。 到四个顶点的距离是两两相等：，。
两个顺手的推论：
- 矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（把直角三角形补成矩形）。
- 菱形被两条垂直的对角线分成四个全等的直角三角形，所以菱形的面积 两条对角线的乘积。
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：对角线相等 ⇒ 是矩形 ← 还成立吗？
被锁住， 一定是平行四边形。拖动 ，让对角线“相等”的灯亮——这时“矩形”的牌子一定也亮了。
四个顶点都自由了。这个四边形的对角线相等，可它是矩形吗？再把 向上拖一格，然后只调 ，让对角线重新相等。
对角线相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是毫无规律的四边形。缺的是“互相平分”——那正是“平行四边形”这个前提提供的。
练一练
矩形的一条边长为 ，对角线长为 。求矩形的面积。
提示 · 方向
对角线和两条邻边组成什么三角形？
提示 · 方法
矩形的角是直角，用勾股定理求另一条边。
提示 · 第一步
另一条边 。
完整解答
面积 。
菱形的两条对角线长为 和 。求菱形的周长。
提示 · 方向
菱形的对角线有什么位置关系？
提示 · 方法
对角线互相垂直平分，把菱形分成四个全等的直角三角形。
提示 · 第一步
每个直角三角形的直角边是 和 ，斜边就是菱形的边。
完整解答
边长 ，周长 。
矩形 的对角线交于点 ，，。求对角线 的长。
提示 · 方向
是什么三角形？
提示 · 方法
矩形的对角线相等且互相平分，所以 。
提示 · 第一步
且顶角 ， 是等边三角形，。
完整解答
。
矩形 中 ，，对角线交于 。 是边 上任意一点， 于 ， 于 。求 的值。
提示 · 方向
“任意一点”却有确定的答案——像不像等腰三角形底边上的点到两腰的距离？
提示 · 方法
连 。 被分成 和 ，它们的底 、 相等，高分别是 、。用面积法。
提示 · 第一步
，。。
完整解答
，所以 。