平行四边形 · 看得见的小蓝本

观察

平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

拖动 $B$ 或 $C$ 。图上标着四条边的长度： $A B$ 和 $C D$ 永远相等， $B C$ 和 $D A$ 永远相等。
看对角线的读数：“互相平分”一直是 ✓；“相等”和“互相垂直”则时有时无。
点“内角”：对角相等，邻角加起来是 $18 0^{\circ}$ 。
把 $C$ 拖到 $B$ 的正上方，再调成 $B C = A B$ ：家谱里更多的牌子亮了。平行四边形的特例留给后两站。

先猜后证

一个四边形，有一组对边平行，另一组对边相等。它一定是平行四边形吗？

一定是不一定一定不是

先选定答案，才能看到结论。

为什么：一条对角线，两个全等三角形

平行四边形的对角线互相平分

第 1 / 4 步

先证对边相等
连 $A C$ 。 $A B ∥ D C$ 给出 $∠ B A C = ∠ D C A$ ， $B C ∥ A D$ 给出 $∠ B C A = ∠ D A C$ ， $A C$ 公共，所以 $△ A B C ≅ △ C D A$ （ASA）。

$A B = C D, B C = D A$
画出两条对角线
角、边、角
读结论

反过来，下面每一条都能判定一个四边形是平行四边形：

两组对边分别平行（定义）；
两组对边分别相等；
一组对边平行且相等；
两组对角分别相等；
对角线互相平分。

如果去掉一个条件

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论： $A B C D$ 是平行四边形

$D$ 被锁在 $A + C - B$ 的位置，保证 $D C$ 与 $A B$ 平行且相等。怎么拖都是平行四边形。

练一练

练习 1基础

平行四边形 $A B C D$ 中 $∠ A = 7 0^{\circ}$ ，求 $∠ B$ 的度数。

练习 2基础

平行四边形 $A B C D$ 的周长是 $28$ ， $A B : B C = 3 : 4$ 。求 $A B$ 的长。

练习 3提高

平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 10$ ， $B D = 16$ ，交于点 $O$ ， $A B = 7$ 。求 $△ A O B$ 的周长。

练习 4挑战

平行四边形 $A B C D$ 中 $A B = 5$ ， $A D = 8$ ， $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ 。求 $E C$ 的长。

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展品

“一组对边平行，另一组对边相等”

A B ∥ C D

，

A D = B C

，所以四边形

A B C D

是平行四边形。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平行的是一组对边，相等的是另一组。等腰梯形正好满足这两个条件，它不是平行四边形。

判定定理要求同一组对边“平行且相等”：

A B ∥ C D

且

A B = C D

。或者改用“两组对边分别平行”“两组对边分别相等”。

「平行且相等，说的必须是同一组对边」

展品

以为平行四边形的对角线相等

A B C D

是平行四边形，所以

A C = B D

。

错在哪里？先想一想，再打开

病因　平行四边形的对角线互相平分，但一般不相等。对角线相等是矩形才有的性质。

平行四边形：

O A = O C

，

O B = O D

。想用

A C = B D

，先证明它是矩形。

「互相平分 ≠ 相等」