观察
- 点“显示：内角”。随便拖，四个角的和一直是 。把一个顶点拖到对面两个顶点的连线里面去，四边形变成凹的——有一个内角超过了 ，和仍然是 。
- 绿色的四边形连接了四条边的中点。无论原四边形多么不规则，它总是平行四边形；读数显示它的面积总是原四边形的一半。
- 点“显示：对角线”，再去拖顶点：绿色四边形的边始终和某一条对角线平行。
- 用“帮我对齐成”把四边形依次变成梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，看家谱里的牌子怎样一层层亮起来：正方形同时点亮了“平行四边形、矩形、菱形”。
先猜后证
顺次连接任意一个凸四边形四条边的中点，得到的四边形面积是原四边形的几分之几？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
总是 。四个角上被切掉的小三角形，各是“对角线一侧的大三角形”的 （中位线截出的相似三角形，相似比 ）。 一条对角线两侧的两个大三角形合起来就是整个四边形，所以沿 方向切掉的两个角共 ，沿 方向的两个角也共 ，剩下 。
为什么：对角线把四边形变成三角形
研究四边形最基本的办法是连一条对角线，把它切成两个三角形，再用三角形的知识。
中点四边形为什么总是平行四边形
第 1 / 5 步- 四个中点
设 、、、 是 、、、 的中点。要证明 是平行四边形。四边形本身没什么可用的定理……
同一个办法给出内角和：一条对角线把四边形分成两个三角形，内角和是 。于是四边形的四个内角不可能都是锐角（那样和就小于 了），也不可能都是钝角。
如果去掉一个条件
Break it
反例实验室：去掉一个条件
结论：中点四边形是矩形 ← 还成立吗？
这个四边形的对角线 水平、 竖直。沿着网格左右拖 、，上下拖 、（保持垂直），看“中点四边形是”的读数。
把 向右拖两格，对角线不再垂直。中点四边形还是矩形吗？再想办法让读数变成“菱形”。
对角线不垂直，中点四边形的邻边（分别平行于两条对角线）也就不垂直，退回成一般的平行四边形。 要得到菱形，需要邻边相等，也就是两条对角线一样长——看“对角线 、”那块读数。
练一练
四边形的三个内角分别是 、、。求第四个内角。
提示 · 方向
四个内角加起来是多少？
提示 · 方法
四边形内角和是 。
提示 · 第一步
。
完整解答
。
四边形四个内角的度数之比是 。最大的内角是多少度？
提示 · 方向
设四个角是 、、、。
提示 · 方法
用内角和 列方程。
提示 · 第一步
。
完整解答
，最大角 。
四边形 的两条对角线长 ，。顺次连接四边中点得到的四边形，周长是多少？
提示 · 方向
中点四边形的每条边和哪条线段有关？
提示 · 方法
每条边都是一条对角线的一半（三角形中位线）。
提示 · 第一步
两条边长 ，两条边长 。
完整解答
周长 ，恰好等于 。
四边形 的对角线互相垂直，，。求它的中点四边形的面积。
提示 · 方向
对角线垂直时，中点四边形是什么形状？
提示 · 方法
它是矩形，两条邻边分别是两条对角线的一半。
提示 · 第一步
矩形的长和宽是 和 。
完整解答
面积 。验证：原四边形面积 ，中点四边形正好是它的一半。