等边三角形

观察

先猜后证

等边三角形内有一点 $P$ ，它到三边的距离分别是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 。这个等边三角形的高是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

连接 P 和三个顶点
等边三角形被分成三块： $△ P B C$ 、 $△ P C A$ 、 $△ P A B$ 。

$S_{△ A B C} = S_{△ P B C} + S_{△ P C A} + S_{△ P A B}$
每一块的底都是 a
整块的面积
约掉 ½a

等边三角形的另一件礼物：绕任何一个顶点旋转 $6 0^{\circ}$ ，一条边正好落到另一条边上。更一般地，绕一点旋转 $6 0^{\circ}$ ，会凭空造出一个等边三角形——旋转中心、一个点、它的像。

用它来解决一个著名的问题：在 $△ A B C$ 里找一点 $P$ ，使 $P A + P B + P C$ 最小。

先自己拖

P

，把和压到最小。然后点“旋转 60°”看看三条线段去了哪里。

第 1 / 5 步

三条线段，从同一点散开
$P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 像三根辐条，没有首尾相接，没法用“两点之间线段最短”。

$P A + P B + P C$
把 △BPA 绕 B 旋转 60°
冒出一个等边三角形
三段接成了折线
拉直

（如果三角形有一个角不小于 $12 0^{\circ}$ ，这样的点不存在，最小值在那个钝角顶点取到。把上图的 $A$ 往下拖试试。）

Break it

结论：内部任意一点到三边的距离之和是定值

等边三角形。无论 $P$ 在内部哪里，和都等于高。

练习 1基础

等边三角形的高是 $9$ ，内部一点 $P$ 到其中两边的距离分别是 $2$ 和 $3$ 。求 $P$ 到第三边的距离。

练习 2基础

等边三角形的高是 $63$ ，求它的边长。

练习 3提高

$P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ 。求 $∠ A P B$ 的度数。

练习 4挑战

在 $△ A B C$ 的外侧，分别以 $A B$ 、 $A C$ 为边作等边三角形 $A B D$ 和 $A C E$ 。连接 $C D$ 、 $B E$ ，它们相交所成的锐角是多少度？