等腰三角形

观察

一开始 $A B \neq = A C$ ：中线 $A M$ （实线）、高 $A H$ （虚线）、角平分线 $A D$ （点线）是三条不同的线， $M$ 、 $H$ 、 $D$ 在底边上排成一排。
把 $A$ 向右拖，让它靠近 $B C$ 中点的正上方：三个落脚点越挤越近。注意 $D$ 总是夹在 $M$ 和 $H$ 之间。
点“把 $A$ 移到 $A B = A C$ 的位置”：三条线完全重合，同时 $∠ B = ∠ C$ 的指示灯也亮了。
再把 $A$ 拖过去一点：三条线又分开了，而且左右顺序反了过来。

等腰三角形的两个基本性质：等边对等角（ $A B = A C \Rightarrow ∠ B = ∠ C$ ），以及三线合一——顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高是同一条线。这条线是等腰三角形的对称轴。

先猜后证

一个等腰三角形有一个内角是 $8 0^{\circ}$ 。它的顶角是多少度？

只能是

8 0^{\circ}

只能是

2 0^{\circ}

8 0^{\circ}

或

2 0^{\circ}

5 0^{\circ}

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

不等腰时，三条线各走各的
中线找的是 $B C$ 的中点，高找的是垂足，角平分线把 $∠ A$ 分成相等的两半。三个要求不同，一般得到三个不同的点。
现在让 AB = AC
左右两个三角形全等
读出两个结论

三线合一常常倒过来用：一条线如果同时是某个三角形的“高和中线”，或“高和角平分线”，或“中线和角平分线”，这个三角形就是等腰的。看到“垂直 + 平分”，就该想到补出一个等腰三角形。

同样，等边对等角也能倒过来：等角对等边（ $∠ B = ∠ C \Rightarrow A B = A C$ ）。要证明两条线段相等，如果它们在同一个三角形里，先看它们对的角。

Break it

结论： $A$ 出发的中线、高、角平分线是同一条线

$A$ 只能在 $B C$ 的垂直平分线上移动，始终 $A B = A C$ 。上下拖动，三线一直合一。

练习 1基础

等腰三角形的顶角是 $10 0^{\circ}$ ，求它的一个底角的度数。

练习 2基础

$△ A B C$ 中 $A B = A C = 13$ ， $B C = 10$ 。求 $B C$ 边上的高。

练习 3提高

等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角是 $4 0^{\circ}$ 。求顶角的度数（把所有可能都写出来，用逗号隔开）。

练习 4挑战

$△ A B C$ 中 $A B = A C$ ， $∠ A = 3 6^{\circ}$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $D$ 。求 $∠ B D C$ 的度数，并想一想图中一共有几个等腰三角形。