直角三角形

观察

滑块在最左边：四个全等的直角三角形靠在大正方形的四个角上，中间空出一个斜放的正方形，边长是三角形的斜边 $c$ 。
把滑块拖到最右边：其中三个三角形平移之后，两两拼成长方形，空出来的是两个正方形，边长分别是 $a$ 和 $b$ 。
整个过程中，大正方形的面积是 $(a + b)^{2}$ ，四个三角形的面积之和是 $2 ab$ ，都没变。所以空白面积不变： $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。
改变 $a$ 、 $b$ 再拖一遍。右下角的 ✓ 从来没有灭过。

先猜后证

直角三角形的两条直角边长为 $5$ 和 $12$ ，斜边长是多少？

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

摆法一
四个直角三角形（直角边 $a$ 、 $b$ ，斜边 $c$ ）放在边长 $a + b$ 的正方形四角。中间的四边形四条边都是 $c$ ，四个角都是 $18 0^{\circ}$ 减去两个互余的锐角，也就是 $9 0^{\circ}$ ——它是正方形。

$空白 = c^{2}$
挪动
摆法二
两次算的是同一个量

知道“有直角”，就能列出一个关于边长的方程。这是几何题里代数方法最常见的入口。

第 1 / 4 步

直角三角形还有一个不依赖勾股定理的性质：斜边上的中线等于斜边的一半。换句话说，直角顶点在以斜边为直径的圆上。

C

只能在以

A B

为直径的圆上滑动。

∠ A C B

变过吗？

C M

呢？

Break it

结论： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

直角三角形。上面一条是 $a^{2}$ 接 $b^{2}$ ，下面一条是 $c^{2}$ ：一样长。拖动 $A$ 或 $B$ （保持直角），它们始终一样长。

练习 1基础

直角三角形的两条直角边长为 $9$ 和 $12$ ，求斜边长。

练习 2基础

一个三角形的三边长是 $7$ 、 $24$ 、 $25$ 。求它的面积。

练习 3提高

直角三角形的两条直角边长为 $15$ 和 $20$ ，求斜边上的高。

练习 4挑战

长方形纸片 $A B C D$ 中 $A B = 8$ ， $B C = 4$ 。把纸片折叠，使顶点 $C$ 与顶点 $A$ 重合，折痕与 $A B$ 交于点 $E$ 。求 $A E$ 的长。