一句话
几何题里“看不出来”的长度，可以先给它起个名字：设它为 。
然后让图形替你列方程。图形里的每一条定理都是一个等式的来源：
- 直角三角形 → 勾股定理
- 相似三角形 → 比例式
- 圆 → 切线长相等、
- 同一块面积算两次 → 等式
列出方程，解出来，再回到图里检验（长度是正的吗？点还在线段上吗？）。如果问的是“最大”“最小”，就把那个量写成 的函数，交给配方。
先猜后证
上面的长方形 ，。拖一拖 试试看： 大约是多少时， 折过去正好落在 上？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
正好是 。靠手试可以试到“差不多”，但为什么恰好是 ？第 1 站用一个方程把它算出来。
第 1 站 · 折叠列出勾股方程（卷四 · 直角三角形）
长方形 中 ，。 在 上，沿 折叠， 恰好落在 边上的 处。求 。
例：折一个角
第 1 / 5 步- 给它起名字
设 。折叠不改变长度，所以 ，。而 。
第 2 站 · 最值交给二次函数（卷三 · 函数的应用）
的底 ，高是 。在里面放一个长方形，一条边贴在 上，另外两个顶点分别在 、 上。长方形的面积最大是多少？
先猜后证
你觉得长方形的高 取多少时，面积最大？
先选定答案，才能看到结论。
✓ 猜对了！✗ 和你想的不一样——这正是值得停一下的地方。
，正好是三角形高的一半。太矮了面积小，太高了变得很窄，面积也小。最大值卡在正中间——这是抛物线的对称性。
例：三角形里的长方形
第 1 / 5 步- 设高为 x
长方形的高是 。它的上边切出一个小三角形，高是 ，和大三角形相似。
第 3 站 · 切线长列出方程组（卷五 · 外心与内心）
的三边是 ，，。内切圆把每条边分成两段，各是多长？
例：13、14、15 的内切圆
第 1 / 5 步- 六条线段，三种长度
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。所以从 出发的两段相等，从 、 出发的也各自相等。
第 4 站 · 圆幂列出二次方程（卷五 · 圆幂定理）
从圆外一点 作切线 ，。过 的一条割线交圆于 、（ 离 较近），。求 。
例：切线和割线
第 1 / 4 步- 设 PA = x
那么 。
练一练
直角三角形的一条直角边是 ，斜边比另一条直角边长 。另一条直角边是多少？
提示 · 方向
哪条线段不知道？给它起个名字。
提示 · 方法
设另一条直角边是 ，斜边就是 。用勾股定理列方程。
提示 · 第一步
。
完整解答
，，。检验：、、 是勾股数。
中 ，，。内切圆与 相切于 。求 。
提示 · 方向
从同一个顶点出发的两条切线段一样长。
提示 · 方法
设从 、、 出发的切线长分别是 、、，列三个方程。
提示 · 第一步
，，。三式相加：。
完整解答
，所以 。
直角三角形的两条直角边是 和 。在里面放一个长方形，它的一个顶点是直角顶点，两条边贴着两条直角边，对面的顶点在斜边上。长方形的面积最大是多少？
提示 · 方向
长方形由一个数决定。设哪条边为 ？
提示 · 方法
设贴着长为 的直角边的那条边是 （）。用相似把另一条边表示出来，面积就是 的二次函数。
提示 · 第一步
长方形上方（或旁边）的小三角形与原三角形相似：另一条边 。
完整解答
。 在范围内，最大面积是 ，是三角形面积 的一半。