函数的应用

这一招在做什么

实际问题里的“最多”“最大”“最省”，很多都能变成二次函数的最值。

选自变量：把那个会变、由你决定的量设成 $x$ ，并写出它能取的范围。
用 $x$ 表示其余的量：销量、另一条边、时间……
列出目标函数：利润、面积、高度，写成 $x$ 的式子。
在范围里求最值，再回到问题检查：答案合不合情理？要不要取整数？

先猜后证

上面的小店：售价 $60$ 元时利润是 $20 \times 300 = 6000$ 元；售价 $70$ 元时利润是 $30 \times 200 = 6000$ 元，一样多。那么利润最高的售价是多少？

60

元

65

元

70

元越贵越好

先选定答案，才能看到结论。

跟着做一遍：定价

例：进价 40 元；售价 60 元时卖 300 件，每涨 1 元少卖 10 件

第 1 / 5 步

选自变量
设涨价 $x$ 元，售价是 $60 + x$ 元。销量不能是负数，所以 $0 \leq x \leq 30$ 。（降价也可以，那就让 $x$ 取负数。）

$售价 = 60 + x, 0 \leq x \leq 30$
用 x 表示其余的量
列出目标函数
配方求最值
回到问题

换个场景：围栏

24

米篱笆，靠墙围三边。

x

多大时面积最大？这时两种边长是什么关系？

一题多解

用 $24$ 米篱笆靠一面足够长的墙围一个长方形，面积最大是多少？

二次函数配方

设垂直于墙的边长 $x$ 米（ $0 < x < 12$ ），平行于墙的边长 $24 - 2 x$ 米。

S = x (24 - 2 x) = - 2 x^{2} + 24 x = - 2 (x - 6)^{2} + 72.

$x = 6$ 时面积最大，是 $72$ 平方米。这时平行于墙的边是 $12$ 米。

代价标准做法，有范围限制时也能用。

和一定，积最大

$2 x$ 与 $24 - 2 x$ 的和是定值 $24$ 。两个数的和一定时，它们相等时积最大。

所以 $2 x = 24 - 2 x = 12$ ， $x = 6$ ， $S = \frac{1}{2} \cdot (2 x) (24 - 2 x) = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$ 。

代价很快；只适合没有额外限制的情况。

什么时候不灵

Break it

反例实验室：去掉一个条件

结论：面积的最大值就是顶点的纵坐标

墙足够长时， $x$ 可以取 $0$ 到 $12$ 之间的任何数，顶点 $x = 6$ 在范围里，最大面积 $72$ 。

再一个场景：往上抛

把小球以 $20$ 米/秒的速度竖直向上抛出， $t$ 秒后离地的高度大约是 $h = 20 t - 5 t^{2}$ （米）。

按“抛出去”，或者拖动时间。球什么时候最高？高度相同的两个时刻有什么关系？

$h = - 5 (t - 2)^{2} + 20$ ：第 $2$ 秒到达最高点 $20$ 米。
令 $h = 0$ ： $t = 0$ 或 $t = 4$ ，第 $4$ 秒落回地面。上升和下落各用 $2$ 秒，这就是抛物线的对称性。
注意右图的横轴是时间。曲线不是球走的路线。

练一练

练习 1基础

一种商品进价 $20$ 元。售价 $30$ 元时每天卖 $100$ 件；每涨 $1$ 元，每天少卖 $5$ 件。售价定为多少元时，每天的利润最大？

练习 2基础

小球竖直上抛， $t$ 秒后的高度是 $h = 30 t - 5 t^{2}$ （米）。小球最高能到多少米？

练习 3提高

用 $48$ 米篱笆靠一面足够长的墙围一个长方形，中间再加一道与墙垂直的篱笆，把它隔成两间。总面积最大是多少平方米？

练习 4提高

用 $30$ 米篱笆靠墙围一个长方形（三边用篱笆）。墙只有 $12$ 米长。面积最大是多少平方米？

练习 5挑战

旅行社组团： $30$ 人时每人收费 $800$ 元；每多 $1$ 人，每个人的收费都降 $15$ 元。团里有多少人时，总收入最高？

这一招在做什么

跟着做一遍：定价

例：进价 40 元；售价 60 元时卖 300 件，每涨 1 元少卖 10 件

换个场景：围栏

二次函数配方

和一定，积最大

什么时候不灵

反例实验室：去掉一个条件

再一个场景：往上抛

练一练

错误博物馆 · 本站展品

求出顶点，却忘了题目的限制

把 h–t 图象当成球的飞行路线